Determine uma função f(x) e uma constante x 0 tal que

∫ x 0 x f t t 4 d t = 2 x - 6

Para todo x > 0 .

Passo 1

Opa meus lindos(as), tudo bem com vocês? Bora pra mais uma de TFC da UFRJ. Nessa questão, determinaremos essa função f ( x ) que ele pede através do TFC. Vem comigo que eu te ensino como faz também! Primeiro, vamos olhar esse problema de uma maneira diferente. Vamos adotar outros nomes pra o que tá do lado direito da equação:

∫     f t t 4 d t = F X + C

Onde,

d d t F t = f t t 4

Passo 2

Tranquilinho. A partir do TFC, a gente obtem o seguinte:

∫     f t t 4 d t = F X + F ( X o )

Ou seja,

F X = 2 x

F ( X o ) = - 6

A partir disso, podemos inferir, através do TFC, que:

f t t 4 = d d t 2 t

f t t 4 = d d t t 1 / 2 ⋅ 2

Logo,

f t = t 7 / 2

Passo 3

E por fim, para acharmos o valor de x o , basta aplicamos o valor de F ( X 0 ) que encontramos no passo 2. Logo,

2 x 0 = 6

x 0 = 9

Resposta

x 0 = 9

f t = t 7 / 2

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