Calcule a derivada de

F x = ∫ 1 x 2 sen ⁡ x 2 e t 2 d t

Passo 1

Repare que a integral é em relação a t , mas tem um termo com x dentro dela: sen ⁡ x 2 . Então podemos tirar ele pra fora da integral! Assim,

F x = sen ⁡ x 2 ∫ 1 x 2 e t 2 d t

Portanto, pra derivar F , precisamos da regra do produto:

F ' x = sen ⁡ x 2 ' ∫ 1 x 2 e t 2 d t + sen ⁡ x 2 ∫ 1 x 2 e t 2 d t '

Passo 2

Pela regra da cadeia:

sen ⁡ x 2 ' = cos ⁡ x 2 x 2 ' = 2 x cos ⁡ x 2

Passo 3

E pelo Teorema Fundamental do Cálculo + regra da cadeia:

∫ 1 x 2 e t 2 d t ' = e x 2 2 x 2 ' = 2 x   e x 4

Passo 4

Juntando isso tudo:

F ' x = 2 x cos ⁡ x 2 ∫ 1 x 2 e t 2 d t + 2 sen ⁡ x 2 x   e x 4

Aliás, nem tente calcular a integral de e t 2 na mão, porque é impossível! Essa integral não existe em termos de funções “elementares” (polinômios, trigonométricas, exponenciais, etc.).

Resposta

2 x cos ⁡ x 2 ∫ 1 x 2 e t 2 d t + 2 sen ⁡ x 2 x   e x 4

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