Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo

UNICAMP, Cálculo 1, P3 - 2017.1 - 5ª Noturno, Questão 2

Calcule a derivada da função

f x = sen x cos x cos t e t ² d t

Passo 1

Sabendo que a função c o s ( t ) é contínua, podemos dividir essa integral em duas partes:

sen x cos x cos t e t ² d t = sen x 0 cos t e t ² d t + 0 cos x cos t e t ² d t

Usando a propriedade das integrais abaixo

a b f x d x = - b a f x d x

a integral que dividimos fica assim:

sen x 0 cos t e t ² d t + 0 cos x cos t e t ² d t = - 0 sen x cos t e t ² d t + 0 cos x cos t e t ² d t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos chamar a integral

0 x cos t e t ² d t

De g ( x ) , ou seja

g x = 0 x cos t e t ² d t

Assim, teremos o seguinte:

- 0 sen x cos t e t ² d t + 0 cos x cos t e t ² d t = - f 1 x + f 2 x

sendo

f 1 x = g ( sen x )

f 2 x = g ( cos x )

Passo 3

Agora vamos fazer o que realmente importa nessa questão: derivar. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 1 sabemos que

0 x cos x e x ² d x ' = cos x e x ²

Logo

f 1 ' x = g ' ( sen x ) cos x = cos sen x e sen ² x cos x

f 2 ' x = g ' ( cos x ) ( - sen x ) = - cos cos x e cos ² x sen x

Finalmente

f ' x = - f 1 ' x + f 2 ' x

f ' x = - cos sen x e sen ² x cos x - cos cos x e cos ² x sen x

Passo 4

Resposta

f ' x = - cos sen x e sen ² x cos x - cos cos x e cos ² x sen x

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