Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo

PUCRIO, Cálculo B - MAT1158, G1 - 2017.2, Questão 1c

1) Calcule as integrais abaixo:

c )       - 2 3 5 + 4 x - x 2   d x

Passo 1

Bem, como a função que estamos integrando está dentro de um módulo, devemos analisar o sinal da função primeiro. Para eliminar esse módulo e podermos integrar a vontade, sacou? Então vamos lá!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro calculemos os zeros da função:

5 + 4 x - x 2 = 0

Por Báskara...

a = - 1 ,       b = 4         e       c = 5

x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a =

- 4 ± 16 + 20 - 2 =

- 4 ± 6 - 2                               x 1 = - 1 x 2 = 5

Como a parábola é tem a concavidade para baixo por causa do a negativo...

Observe que entre - 1 e 5 ...

5 + 4 x - x 2 0

Abaixo de - 1 e acima de 5 ...

5 + 4 x - x 2 < 0

Passo 3

Vamos interpretar isso então no módulo. Como o módulo coloca tudo positivo, entre - 2 e - 1 ...

5 + 4 x - x 2 = - 5 + 4 x - x 2

E entre - 1 e 3 , esse cara já é positivo...

5 + 4 x - x 2 = 5 + 4 x - x 2

Então podemos jogar esse resultado na integral, veja!

- 2 3 5 + 4 x - x 2   d x = - 2 - 1 5 + 4 x - x 2   d x + - 1 3 5 + 4 x - x 2   d x

- 2 3 5 + 4 x - x 2   d x = - 2 - 1 - 5 + 4 x - x 2   d x + - 1 3 5 + 4 x - x 2   d x

Agora é só calcular essa integral e ser feliz!

Passo 4

Integrando...

- 2 3 5 + 4 x - x 2   d x = - 5 x + 4 x 2 2 - x 3 3 - 2 - 1 + 5 x + 4 x 2 2 - x 3 3 - 1 3

- 2 3 5 + 4 x - x 2   d x = - 5 - 1 + 4 2 - - 1 3 3 - 5 - 2 + 4 - 2 2 2 - - 2 3 3 + 5 3 + 4 3 2 2 - 3 3 3 - 5 - 1 + 4 2 - - 1 3 3

Simplificando tudo...

- 2 3 5 + 4 x - x 2   d x = - - 5 + 2 + 1 3 - - 10 + 8 + 8 3 + 15 + 18 - 9 - - 5 + 2 + 1 3

- 2 3 5 + 4 x - x 2   d x = - - 1 - 7 3 + 27 - 1 3

- 2 3 5 + 4 x - x 2   d x = 28 + 2 = 30

Resposta

30

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