Calcule o limite indicado

lim x → π ⁡ ∫ π 2 x 2 cos ⁡ sen ⁡ t d t x - π 3

Passo 1

A primeira coisa a fazer nesse limite é substituir os valores,

lim x → π ⁡ ∫ π 2 x 2 cos ⁡ sen ⁡ t d t x - π 3 = ∫ π 2 π 2 cos ⁡ sen ⁡ t d t π - π 3 = 0 0

Temos uma indeterminação 0 / 0 , como temos uma integral maldita ali, não tem muito o que fazer, vamos usar L’Hostpital

Passo 2

Vamos começar derivando o numerador

∫ π 2 x 2 cos ⁡ sen ⁡ t d t '

Lembra do teorema fundamental do cálculo? Quando fazemos a derivada de uma integral, a derivada é a função dentro da integral, só fica atento porque temos uma função em vez de x no limite da integral. A derivada vai ser

∫ π 2 x 2 cos ⁡ sen ⁡ t d t ' = cos ⁡ sen ⁡ x 2 . x 2 ' = 1 2 cos ⁡ sen ⁡ x 2

Passo 3

Vamos derivar o denominador

x - π 3 ' = 3 x - π 2

Passo 4

Vamos ter

lim x → π ⁡ ∫ π 2 x 2 cos ⁡ sen ⁡ t d t x - π 3 = lim x → π ⁡ 1 2 cos ⁡ sen ⁡ x 2 3 x - π 2 = 1 2 cos ⁡ sen ⁡ π 2 3 . π - π 2 = 1 2 cos ⁡ 1 0 = ∞

Como a parte de cima vai ser positiva e a de baixo também, temos

lim x → π ⁡ ∫ π 2 x 2 cos ⁡ sen ⁡ t d t x - π 3 = + ∞

Resposta

+ ∞

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