Calcule o limite:

lim x → 0 ⁡ ∫ 0 x 1 + sen ⁡ t 2013 d t 3 x

Passo 1

O enunciado não tem muito mistério. É pedido o cálculo de um limite quando x tende a 0 .

A primeira vista, parece um problema de limite, porém, a expressão contém uma integral da forma:

∫ a x f ( t ) d t

Quando isso aparece, temos que pensar na primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo!

Passo 2

Vamos analisar o limite quando x → 0 :

Numerador: ∫ 0 0 1 + sen ⁡ t 2013 = 0 . (Pela propriedade ∫ a a f ( x ) d x = 0 )

Denominador: 3 ⋅ 0 = 0

Assim, temos uma indeterminação do tipo 0 0 . Quando isso acontece, devemos usar a Regra de L’Hospital. Basta derivar o numerador e o denominador.

Pronto! Para o numerador, usaremos a primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 3

Vamos começar derivando o numerador, usando a primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo.

Para usarmos, temos que conferir se f ( t ) é contínua. De fato, a função f t = 1 + sen ⁡ t 2013 , é contínua.

Assim, a derivada do numerador é:

1 + sen ⁡ x 2013

A derivada do denominador é simples: d d x 3 x = 3

Então:

lim x → 0 ⁡ ∫ 0 x 1 + sen ⁡ t 2013 d t 3 x = lim x → 0 ⁡ 1 + sen ⁡ x 2013 3 = 1 + sen ⁡ 0 2013 3 = 1 3

Resposta

lim x → 0 ⁡ ∫ 0 x 1 + sen ⁡ t 2013 d t 3 x = 1 3

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