Calcule os limites:

  lim x → 1 + ⁡ ∫ 5 5 x cos 4 ⁡ 7 t d t ∫ - 1 cos ⁡ 3 π x 2 t 2 d t

Passo 1

Quando substituímos esse x , os limite de integração das integrais se igualam. Quando isso acontece, a integral se anula:

lim x → 1 + ⁡ ∫ 5 5 x cos 4 ⁡ 7 t d t ∫ - 1 cos ⁡ 3 π x 2 t 2 d t = ∫ 5 5 cos 4 ⁡ 7 t d t ∫ - 1 - 1 2 t 2 d t = 0 0

E caímos numa indeterminação!

Passo 2

Derivamos essas integrais pelo Teorema Fundamental do Cálculo:

lim x → 1 + ⁡ ∫ 5 5 x cos 4 ⁡ 7 t d t ∫ - 1 cos ⁡ 3 π x 2 t 2 d t → L ' H lim x → 1 + ⁡ cos 4 ⁡ 7 5 x 5 x ' 2 cos ⁡ 3 π x 2 cos ⁡ 3 π x '

= lim x → 1 + ⁡ cos 4 ⁡ 35 x 5 2 cos ⁡ 3 π x 2 - 3 π sen ⁡ 3 π x

Substituindo o limite, teremos:

lim x → 1 + ⁡ cos 4 ⁡ 35 x 5 2 cos ⁡ 3 π x 2 - 3 π sen ⁡ 3 π x = cos 4 ⁡ 35 5 2 cos ⁡ 3 π 2 - 3 π sen ⁡ 3 π x

= cos 4 ⁡ 35 5 2 - 1 2 - 3 π ( 0 ) = 5 cos 4 ⁡ 35 - 6 π ( 0 )

Repara, temos um Termo que, como um todo, é negativo. Porém, ao substituir o x → 1 + no seno temos um 0 no denominador, que fará a função explodir para ± ∞ :

lim x → 1 + ⁡ cos 4 ⁡ 35 x 5 2 cos ⁡ 3 π x 2 - 3 π lim x → 1 + ⁡ 1 sen ⁡ 3 π x

= 5 cos 4 ⁡ 35 - 6 π 0 lim x → 1 + ⁡ 1 sen ⁡ 3 π x

Para valores logo acima de sen ⁡ 3 π o seno é positivo. Assim, o limite do seno irá para + ∞ .

Multiplicada pela constante negativa, o resultado é:

5 cos 4 ⁡ 35 - 6 π 0 + ∞ = - ∞

Resposta

lim x → 1 + ⁡ ∫ 5 5 x cos 4 ⁡ 7 t d t ∫ - 1 cos ⁡ 3 π x 2 t 2 d t = - ∞

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