Considere f : [ 0 , ∞ ) → R definida por f x = sen ⁡ x 2 . Na figura abaixo, A t representa a área da região indicada e B t é a área do triângulo com vértices em O , P e t , 0 indicado.

Determine lim t → 0 + ⁡ A t B t .

Passo 1

Vamos resolver essa questão com calma, começando primeiro definindo quem seriam esses A t e B t .

Segundo a primeira imagem, A t é a área de f x = sen ⁡ x 2 de 0 até um ponto t qualquer. Seria isso daqui:

A t = ∫ 0 t sen ⁡ x 2 d x

Já o B t é simplesmente a área do triângulo com um vértice na origem, um em t , f t e outro em t , 0 . Sua base é t e sua altura é f t , então a área do triângulo será:

B t = t . f t 2 = t sen ⁡ t 2 2

Assim, o limite que nos interessa é:

lim t → 0 + ⁡ A t B t = lim t → 0 + ⁡ ∫ 0 t sen ⁡ x 2 d x t sen ⁡ t 2 2

Passo 2

Vamos resolver o limite agora. Repara que ao substituir t → 0 + o A t terá os limites de integração iguais, o que faz com que vá a 0 , bem como será o B t ao substituir o valor:

lim t → 0 + ⁡ ∫ 0 t sen ⁡ x 2 d x t sen ⁡ t 2 2 = lim t → 0 + ⁡ ∫ 0 0 sen ⁡ x 2 d x 0 sen ⁡ 0 2

= 0 0

Assim, como caímos numa indeterminação, podemos usar L’Hospital:

lim t → 0 + ⁡ ∫ 0 t sen ⁡ x 2 d x t sen ⁡ t 2 2 → L ' H lim t → 0 + ⁡ ∫ 0 t sen ⁡ x 2 d x ' t sen ⁡ t 2 2 '

Derivando o denominador nós usamos o Teorema Fundamental do Cálculo; para o denominador usamos a Regra do Produto e da Cadeia:

lim t → 0 + ⁡ t ' sen ⁡ t 2 t ' sen ⁡ t 2 2 + t sen ⁡ t 2 ' 2 = lim t → 0 + ⁡ sen ⁡ t 2 sen ⁡ t 2 2 + 2 t 2 cos ⁡ t 2 2

= 2 lim t → 0 + ⁡ sen ⁡ t 2 sen ⁡ t 2 + 2 t 2 cos ⁡ t 2

Passo 3

Vou calcular o inverso desse limite e depois eu desinverto o resultado e jogo nessa última expressão que achamos.

lim t → 0 + ⁡ sen ⁡ t 2 + 2 t 2 cos ⁡ t 2 sen ⁡ t 2 = 1 + lim t → 0 + ⁡ 2 t 2 cos ⁡ t 2 sen ⁡ t 2

Vamos concentrar só nesse limite que sobrou:

lim t → 0 + ⁡ 2 t 2 cos ⁡ t 2 sen ⁡ t 2 = lim t → 0 + ⁡ 2 t 2 tg ⁡ t 2 = 0 0

Podemos usar L’Hospital nele, já que caímos em outra indeterminação:

lim t → 0 + ⁡ 2 t 2 tg ⁡ t 2 → L ' H lim t → 0 + ⁡ 2 t 2 ' tg ⁡ t 2 '

= lim t → 0 + ⁡ 2 2 t 2 t sec 2 ⁡ t 2 = lim t → 0 + ⁡ 2 sec 2 ⁡ t 2

= 2 1 2 = 2

Então:

lim t → 0 + ⁡ sen ⁡ t 2 + 2 t 2 cos ⁡ t 2 sen ⁡ t 2 = 1 + 2 = 3

Passo 4

Voltando ao limite original, ou seja, desinvertendo esse, achamos a resposta final:

2 lim t → 0 + ⁡ sen ⁡ t 2 sen ⁡ t 2 + t cos ⁡ t 2 = 2 1 3 = 2 3

E essa é, finalmente, a nossa resposta!

Resposta

lim t → 0 + ⁡ A t B t = 2 3

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