Considere a função F : ( 0 , + ∞ ) → R , definida por

F x = ∫ 0 x ² sin ⁡ ( t 2 ) t α d t , 0 < α < 3

Determine o valor de α , sabendo que lim x → 0 + ⁡ F ' x = 2

Passo 1

Já que possuímos a expressão de F ( x ) e o valor do limite de F ' ( x ) para zero pela direita, vamos calcular F ' ( x ) para inserirmos na expressão do limite e igualar a 2 , descobrindo, assim, o valor de α .

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia, vamos nomear as funções assim:

g t = ∫ 0 x ² sin ⁡ ( t 2 ) t α d t

u t = sin ⁡ ( t 2 ) t α

F t = g ( u t )

Então, pela Regra da Cadeia temos

F ' x = g ' ( u x ) u ' x

E pelo TFC sabemos que

g ' u x = sin ⁡ ( x 2 ) ² ( x 2 ) α

Logo,

F ' x = sin ⁡ ( x 2 ) ² ( x 2 ) α x 2 '

F ' x = sin ⁡ x 4 x 2 α 2 x

F ' x = 2 sin ⁡ x 4 x 2 α - 1

Passo 2

Agora

lim x → 0 + ⁡ F ' x = lim x → 0 + ⁡ 2 sin ⁡ x 4 x 2 α - 1 = 2

Para que isso seja verdade, precisamos que

lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x 4 x 2 α - 1 = 1

Isso seria facilmente obtido pelo Limite Fundamental Trigonométrico se

x 2 α - 1 = x 4

porque teríamos

lim x → 0 + ⁡ sin ⁡ x 4 x 4 = 1

Assim, vamos ver se existe α tal que

x 2 α - 1 = x 4

2 α - 1 = 4

2 α = 5

α = 5 2

Resposta

α = 5 2

Exercícios de Livros Relacionados

Cada uma das seguintes funções resolve um dos problemas de valor inicial dos Exercícios 65-68. Qual função resolve qual problema? Justifique brevemente suas respostas. y = ∫ 1 x 1 t d t - 3 y = ∫ 0 x
Ache a integral indefinida geral. Ilustre fazendo o gráfico de vários membros da família na mesma tela. ∫ cos ⁡ x - 2 s e n x d x
A região no primeiro quadrante, limitada pela curva y = 5 - x x + 1 2 , pelo eixo x e pelo eixo y gira em torno do eixo x . Ache o volume do sólido gerado.
Em uma cidade com 12000 pessoas, a taxa de crescimento de uma epidemia de gripe é conjuntamente proporcional ao número de pessoas tiveram a gripe e ao número de pessoas que não a contraíram. Cinco dia