Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo

UFRJ, Cálculo 1, PF - 2013.2, Questão 5

Considere a função

y = f x = 0 sen x 2 e t 2 d t

Ache a equação da reta r que é tangente ao gráfico de f no ponto 2 π ,   0 . Em seguida ache as coordenadas do ponto de interseção da reta r com a reta s dada por:

y = 3 2 x + π

Passo 1

Pra achar a equação da reta tangente, precisamos da derivada da função f .

E pra derivar uma integral onde aparece uma função no limite de integração, fazemos assim, pelo Teorema Fundamental do Cálculo:

f x = a u ( x ) g ( t ) d t  

f ' x = g u x   u ' x

Nesse caso temos

f x = 0 sen x 2 e t 2 d t

f ' x = e sen 2 x 2 sen x 2 '

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pela regra da cadeia:

sen x 2 ' = cos x 2 x 2 ' = cos x 2 . 1 2

Portanto:

f ' x = 1 2 e sen 2 x 2 cos x 2

Então em x = 2 π :

f ' 2 π = 1 2 sen 2 π cos π

f ' 2 π = 1 2 . 1 . - 1 = - 1 2

Esse é o coeficiente angular da reta tangente.

Passo 3

A equação geral da reta tangente é:

y - y 0 = m x - x 0

Aqui temos

x 0 ,   y 0 = 2 π ,   0     e     m = f ' 2 π = - 1 2

Então

y - 0 = - 1 2 x - 2 π

y = - 1 2 x + π

Essa é a equação da reta r .

Passo 4

E agora ele quer o ponto de interseção dessa reta com a reta s , que é dada por:

y = 3 2 x + π

Digamos que as retas se cruzam no ponto a ,   b . Como esse ponto pertence às duas retas, temos

b = - 1 2 a + π b = 3 2 a + π

Ou seja:

- 1 2 a + π = 3 2 a + π

2 a = 0

a = 0

b = π

As retas se cruzam no ponto 0 ,   π .

Resposta

Reta tangente:

y = - 1 2 x + π

As retas se cruzam no ponto 0 ,   π .

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