Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo

UFRJ, Cálculo 1, P2 - 2017.2, Questão 5

Considere a função F : ( 0 , + ) R , definida por

F x = 0 x ² sin ( t 2 ) t α d t , 0 < α < 3

Determine o valor de α , sabendo que lim x 0 + F ' x = 2

Passo 1

Já que possuímos a expressão de F ( x ) e o valor do limite de F ' ( x ) para zero pela direita, vamos calcular F ' ( x ) para inserirmos na expressão do limite e igualar a 2 , descobrindo, assim, o valor de α .

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia, vamos nomear as funções assim:

g t = 0 x ² sin ( t 2 ) t α d t

u t = sin ( t 2 ) t α

F t = g ( u t )

Então, pela Regra da Cadeia temos

F ' x = g ' ( u x ) u ' x

E pelo TFC sabemos que

g ' u x = sin ( x 2 ) ² ( x 2 ) α

Logo,

F ' x = sin ( x 2 ) ² ( x 2 ) α x 2 '

F ' x = sin x 4 x 2 α 2 x

F ' x = 2 sin x 4 x 2 α - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora

lim x 0 + F ' x = lim x 0 + 2 sin x 4 x 2 α - 1 = 2

Para que isso seja verdade, precisamos que

lim x 0 + sin x 4 x 2 α - 1 = 1

Isso seria facilmente obtido pelo Limite Fundamental Trigonométrico se

x 2 α - 1 = x 4

porque teríamos

lim x 0 + sin x 4 x 4 = 1

Assim, vamos ver se existe α tal que

x 2 α - 1 = x 4

2 α - 1 = 4

2 α = 5

α = 5 2

Resposta

α = 5 2

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