Considere a função g x = ∫ 0 2 cos ⁡ x 3 + sen ⁡ t 2 d t definida em R .

( b ) Seja f x = ∫ 0 g ( x ) t 2 4 + t 4 d t . Calcule f ' π 2 .

Passo 1

Tá, o processo para derivar é o mesmo da outra. Coloca g ( x ) no lugar de t e deixa, por fora, a derivada do g ( x ) , vinda da Regra da Cadeia.

f ' x = g x 2 4 + g x 4 d g x d x

Pela outra questão, a gente já conhece o g ' ( x ) :

f ' x = g x 2 4 + g x 4 - 2 sen ⁡ ( x ) 3 + sen ⁡ 2 cos ⁡ x 2

Bom, ele quer o valor de f ' π 2 . Pela expressão aqui em cima, eu precisaria do valor de g π 2 para fazer isso. E olha que maneira essa situação:

g π 2 = ∫ 0 2 cos ⁡ π 2 3 + sen ⁡ t 2 d t = ∫ 0 2 0 3 + sen ⁡ t 2 d t

= ∫ 0 0 3 + sen ⁡ t 2 d t

Limites de integração iguais? Rapaz, isso vai dar 0 . Com isso, podemos substituir o resto da expressão e, finalmente, calcular f ' π 2 .

f ' π 2 = g π 2 2 4 + g π 2 4 - 2 sen ⁡ π 2 3 + sen ⁡ 2 cos ⁡ π 2 2

= 0 2 4 + 0 4 - 2 ( 1 ) 3 + sen ⁡ 0 = 0 4 - 2 3 = 0

Resposta

f ' π 2 = 0

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