Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo

USP - Cálculo 1 - P3 2010 – 3b

Considere a função

g x = 0 2 cos x 3 + sen t 2 d t

definida em R .

Seja

f x = 0 g ( x ) t 2 4 + t 4 d t

Calcule f ' π 2 .

Passo 1

Bom, ele quer a derivada de f ( x ) , sendo que f x está definida como uma integral em t . Até aí, tudo igual ao que já vimos. O que está no numerador é uma função de x , que ele chamou de g ( x ) . Até aí tranquilo também: já sabemos que teremos que usar a regra da cadeia.

Só que se você olhar para a g ( x ) que ele definiu, você pode ficar assustado(a) porque ela também tem uma integral. Mas calminha aí! Ao invés de nos preocuparmos com a g ( x ) , vamos resolver tudo em função dela e depois substituir. Aí você vai ver que não tem nenhum bicho de sete cabeças aí!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A primeira coisa que temos que fazer quando queremos a derivada de f ( x ) nesses casos é substituir a variável t pela função de x no limite da integração e depois utilizar a regra da cadeia, ou seja, multiplicar pela derivada dessa função.

Nesse caso, vamos, incialmente, esquecer que ele definiu g ( x ) e escrever g ( x ) no lugar de t :

f ' x =   [ g x ] 2 4 + g x 4   . g x '

A princípio, não sabemos quem é g ( x ) , então simplesmente indicamos a sua derivada como g ' ( x ) :

f ' x =   [ g x ] 2 4 + g x 4   .   g ' x

Passo 3

Agora podemos nos preocupar com g ( x ) . Observe que g ( x ) também é definida como uma integral que tem variável t . A princípio, precisaríamos calcular o valor de g x para substituir na expressão de f ' ( x ) . Mas como ele pede f ' π 2 , veremos que isso não será necessário.

Para achar g ' ( x ) basta utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo:

g x = 0 2 cos x 3 + sen t 2 d t

g ' x = 3 + s e n 2 cos x 2 2 cos x '

g ' x = 3 + sen 4 cos 2 x . - 2   sen x

Vamos substituir g ' ( x ) na expressão que encontramos para f ' ( x ) :

f ' x =   [ g x ] 2 4 + g x 4   . 3 + sen 4 cos 2 x . - 2   sen x

Passo 4

Bom, ele quer o valor de f ' π 2 . Não é necessário, de fato, resolver a integral para calcular g ( x ) . Apenas entender que, como ele quer f ' ( x ) especificamente no ponto x = π 2 só precisávamos do valor de g x também em x = π 2 .

Ok, mas eu ainda preciso do valor de g π 2 . Como calculo isso? Assim como em outros casos que já vimos, para achar g π 2 basta substituir o x no limite de integração por π 2 :

g π 2 = 0 2 cos π 2 3 + sen t 2 d t = 0 2 0 3 + sen t 2 d t

g π 2 = 0 0 3 + sen t 2 d t = 0

Limites de integração iguais? Rapaz, isso vai dar 0 . Com isso, podemos substituir g π 2 por 0 na expressão e, finalmente, calcular f ' π 2 .

f ' π 2 = g π 2 2 4 + g π 2 4 - 2 sen π 2 3 + sen 4 cos 2 π 2

= 0 2 4 + 0 4 - 2 ( 1 ) 3 + sen 0 = 0 2 - 2 3 = 0

Confessa aí: maneirinha essa questão, hein?

Resposta

f ' π 2 = 0

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