Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo

UNICAMP, Cálculo 1, P3 - 2018.1 - 6ª Diurno, Questão Q02

2) Dada:

f x = 0 t g   x e arctan y y 2 + 1 d y

Determine f ' ' x

Passo 1

Esse tipo de questão dá um medinho né? Mas relaxa meu caro, porque vamos desvendar esse mistério. Pra começar, vamos lembrar de uma regrinha que vem lá do teorema fundamental do cálculo:

f x = a h x g y   d y

f ' x = g h x h ' x

Onde “ a ” é um número qualquer. E veja bem: a função f x cabe direitinho no modelo acima! Então se fizermos:

g y = e arctan y y 2 + 1

h x = t g   x

Vamos ter que a primeira derivada é:

f ' x = e arctan t g   x t g 2   x + 1 t g   x '

Derivando a tangente, vamos ter:

f ' x = e arctan t g   x t g 2   x + 1 sec 2 x

Agora, como:

t g 2   x + 1 = sec 2 x

Podemos reescrever:

f ' x = e arctan t g   x sec 2 x sec 2 x = e arctan t g   x

E vai faltar entender uma coisinha só:

arctan t g   x

Como isso é uma função trigonométrica inversa de uma função trigomométrica, é como se as operações se cancelassem viu? Ficamos então com:

arctan t g   x = x

E prontinho, a primeira derivada é:

f ' x = e x

Mas como a questão pede a segunda derivada e não a primeira, basta derivar de novo e partir pro abraço. Nossa resposta vai ser:

f ' ' x = e x

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Resposta

f ' ' x = e x

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