Se

f x = ∫ 0 sen ⁡ ( x ) 1 + t 2 d t

e

g y = ∫ 3 y f ( x ) d x

encontre g ' ' π 3 .

Passo 1

Vamos escrever g ( y ) juntando já as duas equações:

g y = ∫ 3 y ∫ 0 sen ⁡ x 1 + t 2 d t d x

O que o enunciado pede é a derivada segunda de g ( y ) , o que faz sentido já que temos duas integrais. Nós basicamente teremos que aplicar o Teorema Fundamental do cálculo duas vezes. Vamos lá?

Passo 2

Começando com a primeira aplicação do Teorema. Pegamos a função de dentro, substituímos o limite que é função (no caso, o y ) dentro da função interna e multiplicamos pela derivada desse limite:

g ' y = ∫ 3 y ∫ 0 sen ⁡ x 1 + t 2 d t d x '

= ∫ 0 sen ⁡ y 1 + t 2 d t y '

= ∫ 0 sen ⁡ y 1 + t 2 d t

Aplicamos novamente o Teorema da mesma maneira:

g ' ' y = ∫ 0 sen ⁡ y 1 + t 2 d t '

= 1 + sen ⁡ y 2 sen ⁡ y '

= 1 + sen ⁡ y 2 cos ⁡ ( y )

Essa é a derivada segunda de g ( y ) !

Passo 3

Vamos substituir y = π 3 e descobrir o valor do termo:

g ' ' π 3 = 1 + sen ⁡ π 3 2 cos ⁡ π 3

= 1 + 3 2 2 1 2

= 1 + 3 4 1 2

= 7 2 1 2

= 7 4

Resposta

g ' ' π 3 = 7 4

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