Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo

UFRJ, Cálculo 1, P2 - 2016.2, Questão ME5

Se

f x = 0 x 1 t 3 + 2 d t

então qual das afirmações abaixo é FALSA ?

  1. f - 1 > - 1
  2. f 0 = 0
  3. f é contínua para x > 0
  4. f ' 1 = 1 / 3
  5. f 1 > 1

Passo 1

Vamos ter que testar as afirmações uma por uma.

Letra (a): f - 1 > - 1

Temos

f - 1 = 0 - 1 1 t 3 + 2 d t = - - 1 0 1 t 3 + 2 d t

Ou seja, a letra (a) diz que:

- - 1 0 1 t 3 + 2 d t > - 1

- 1 0 1 t 3 + 2 d t < 1

Nem adianta tentar integrar porque não vai dar. Não sabemos nenhum método pra resolver essa integral.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O lance vai ser comparar essa integral com outra que conhecemos. Que tal simplesmente a função constante 1 ? Temos que

- 1 0 1 d t = 1

Ou seja, a letra (a) está afirmando que:

- 1 0 1 t 3 + 2 d t < - 1 0 1 d t

“Cortando” a integral:

1 t 3 + 2 < 1 ,     t - 1 ,   0

Desenvolvendo essa inequação :

t 3 + 2 > 1

t 3 + 2 > 1

t 3 > - 1

t > - 1

Estamos no intervalo - 1 ,   0 , ou seja a condição t > - 1 está respeitada! A letra (a) está falando a verdade.

Passo 3

Letra (b): f 0 = 0

Essa é tranquila:

f 0 = 0 0 1 t 3 + 2 d t

Por definição, quando os limites de integração são iguais a integral dá zero. Então a letra (b) é verdadeira também.

Passo 4

Letra (c): f é contínua para x > 0

Nossa função f é dada por uma integral:

f x = 0 x 1 t 3 + 2 d t

Uma boa maneira de testar a continuidade é derivando. Se a derivada existir, a função é contínua!

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo:

f ' x = 1 x 3 + 2

Essa função tem uma descontinuidade em x = - 2 3 , onde o denominador se anula. Mas pra todo x > 0 essa derivada existe. Ou seja, pra x > 0 nossa f é contínua.

A letra (c) também está certa.

Passo 5

Letra (d): f ' 1 = 1 / 3

Calculamos a derivada no passo anterior:

f ' x = 1 x 3 + 2

Portanto:

f ' 1 = 1 1 + 2 = 1 3

A afirmativa (d) está certa.

Passo 6

Por eliminação, nos resta que a letra (e) é falsa. Mas vamos conferir isso aí!

Letra (e): f 1 > 1

O raciocínio vai ser exatamente o mesmo que usamos na letra (a):

f 1 > 1 0 1 1 t 3 + 2 d t > 1 = 0 1 1 d t

Daí dá pra cortar a integral e fica:

1 t 3 + 2 > 1 ,     t 0 ,   1

1 > t 3 + 2

1 > t 3 + 2

t 3 < - 1

Opa, isso tá errado! Estamos no intervalo t 0 ,   1 , então t 3 > 0 .

Essa inconsistência nas contas faz com que a letra (e) seja falsa.

Resposta

Letra (e)

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