Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo

PUCRIO, Cálculo B - MAT1158, G4 - 2015.2, Questão 1f

Se f for uma função contínua tal que: 1 x f t d t = x - 1 e 2 x + 1 x e - t f t d t

Para todo x real ache uma fórmula explicita para f x .

Passo 1

Veja que podemos aplicar a derivada em ambos lados da equação, ficando:

d d x 1 x f t d t = d d x x - 1 e 2 x + d d x 1 x e - t f t d t

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos que:

d d x 1 x f t d t = f x

d d x 1 x e - t f t d t = e - x f x

Já pela regra do produto:

d d x x - 1 e 2 x = e 2 x + 2 x - 1 e 2 x = e 2 x 1 + 2 x - 2 = e 2 x 2 x - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

-

Substituindo tudo:

f x = e 2 x 2 x - 1 + e - x f x

Isolando f x :

f x 1 - e - x = e 2 x 2 x - 1 f x = e 2 x 2 x - 1 1 - e - x

Resposta

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