lim x → 0 ⁡ ∫ 0 x ( cos ⁡ ( t ) ) 20 d t x

Passo 1

Primeiro observe que se a gente tender o x para 0 , a gente pode falar perfeitamente aqui que essa integral aí vai a 0 também.

Assim sendo, como temos um caso de 0 0 , a gente pode matar esse problema aplicando L ' H o p i t a l !

Essa regra é aquela regra de derivar em cima e derivar em baixo, se lembra?

lim x → 0 ⁡ ∫ 0 x ( cos ⁡ ( t ) ) 20 d t x = lim x → 0 ⁡ ∫ 0 x ( cos ⁡ ( t ) ) 20 d t ' ( x ) '

Passo 2

Vamos começar com a derivada do de cima, ou seja, derivar ∫ 0 x ( cos ⁡ ( t ) ) 20 d t :

∫ 0 x ( cos ⁡ ( t ) ) 20 d t '

Repare que nesse caso, temos que aplicar o teorema fundamental do cálculo, ou seja

∫ 0 x g t d t ' = g ( x )

Basicamente esse teorema nos diz que a derivada é o inverso da integral , percebeu?

Agora aplicando isso na nossa integral:

∫ 0 x ( cos ⁡ ( t ) ) 20 d t ' = ( cos ⁡ ( x ) ) 20

Passo 3

Pow, a derivada do de baixo sai diretão, ou seja:

x ' = 1

Passo 4

Voltando para o L ' H o p i t a l , ou seja:

lim x → 0 ⁡ ∫ 0 x ( cos ⁡ ( t ) ) 20 d t x = lim x → 0 ⁡ ( cos ⁡ ( x ) ) 20 1

Como o cosseno de 0 vale 1 , a gente pode falar que esse limite vale

lim x → 0 ⁡ ∫ 0 x ( cos ⁡ ( t ) ) 20 d t x = 1 20 = 1

Resposta

lim x → 0 ⁡ ∫ 0 x ( cos ⁡ ( t ) ) 20 d t x = 1

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