Questão 1) Seja

h x = ∫ 1 x 2 e t 3   d t

Encontre h 1 e h ' x .

Passo 1

Antes de mais nada quero que você entenda o porquê que não vamos calcular essa integral direto, e o motivo é simples: a integral simplesmente não se resolve com os métodos clássicos! Você poderia tentar horas, e ainda não ia conseguir, pois o t está ao cúbo, saca?

Mas a primeira, h 1 , é bem mais convincente do que parece, basta substituir o x por 1 ...

h x = ∫ 1 x 2 e t 3   d t       →

h 1 = ∫ 1 1 e t 3   d t

Como a função e t 3   é uma função continua pra todo valor de t , então o valor dessa integral, como temos limites iguais, então o seu valor será:

h 1 = ∫ 1 1 e t 3   d t = 0

Passo 2

Para calcular a derivada é só derivar aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, ou seja:

h ' x = ∫ 1 v x f t   d t ' = f v x ⋅ v ' x

Então pra nossa função...

h ' x = ∫ 1 x 2 e t 3   d t ' =

e x 2 3 ⋅ x 2 ' =

e x 6 2 x

Resposta

h 1 = 0

h ' x = 2 e x 6 x

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