Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo

USP, Cálculo 1, P-SUB - 2015, Questão 4

Seja F x = 0 x 3 x 3 sen t 2 d t .

a Calcule F ' x para x 0 .

b Verifique se F é derivável em x 0 = 0 . Em caso afirmativo, calcule F ' 0 .

Passo 1

a Vamos começar derivando esse cara. Temos que usar o Teorema Fundamental, já que se trata de uma derivada de integral em x . Agora antes disso, repara que tem dentro da função da integral uma parte que é função de x , então devemos retirá-la dali como se fosse uma constante:

F x = 0 x 3 x 3 sen t 2 d t = x 3 0 x 3 sen t 2 d t

Ou seja, temos que derivar esse cara com a Regra do Produto:

F ' x = x 3 ' 0 x 3 sen t 2 d t + x 3 0 x 3 sen t 2 d t '

No segundo termo usamos o TFC na derivada:

F ' x = 1 3 x - 2 3 0 x 3 sen t 2 d t + x 3 sen x 2 3 x 3 '

= 1 3 x - 2 3 0 x 3 sen t 2 d t + x 3 sen x 2 3 1 3 x - 2 3

F ' x = 1 3 x - 2 3 0 x 3 sen t 2 d t + x 3 sen x 2 3

Essa é a derivada que queremos.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b Para observar se esse cara é derivável em x 0 = 0 também nós precisamos primeiro ver se ela é contínua. Como não há nada que limite o domínio ela realmente será contínua. Então usamos a definição de derivada nesse ponto para ver se F ' x é contínua em x 0 = 0 :

F ' 0 = lim x 0 F x - F 0 x - 0 = lim x 0 0 x 3 x 3 sen t 2 d t - 0 0 0 sen t 2 d t x

= lim x 0 x 3 0 x 3 sen t 2 d t x = lim x 0 0 x 3 sen t 2 d t x 2 3 = 0 0

Podemos usar L’Hospital para fugir da indeterminação. Da letra a já temos a derivada:

lim x 0 0 x 3 sen t 2 d t x 2 3 L ' H lim x 0 lim x 0 0 x 3 sen t 2 d t x 2 3 ' x 2 3 '

= lim x 0 1 3 x - 2 3 sen x 2 3 2 3 x - 1 3

= lim x 0 sen x 2 3 2 x 1 3 = lim x 0 sen x 2 3 2 x 2 3 x 1 3

Ali no quociente que sobrou eu forcei aparecer o limite fundamental. No caso, ele está dividido por 2 . Assim, olha como vai ficar:

lim x 0 sen x 2 3 2 x 2 3 x 1 3 = 1 2 0 1 3

= 0

Ou seja, F ' 0 = 0 , F é derivável nesse ponto!

Resposta

a   F ' x = 1 3 x - 2 3 0 x 3 sen t 2 d t + x 3 sen x 2 3

b   F ' 0 = 0

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