Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo

USP - Cálculo 1 - P3 2012 - 3 II

Seja

F x = sen x cos x e 2 x + t 2 d t

Calcule F ' x e determine F ' π 4 .

Passo 1

Novamente, temos uma questão em que ele pede a derivada de uma função em x em que aparece uma integral em t . Ok, já sei que você não aguenta mais, mas vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 1.

Para deixar a vida um pouco menos monótona, esse caso vai ser um pouquinho diferente. A primeira coisa que você tem que observar é que existe um x dentro da integral. Não dá para resolver assim, porque o x   também é um limite de integração.

Por outro lado, lembra que eu comentei lá na teoria que a variável dentro da integral é t e não x ? Então o x funciona como uma constante para a função dentro da integral. Quando temos uma constante, ela pode ser colocada para fora da integral. Então se conseguirmos separar aquela expressão e 2 x + t 2 em uma expressão que dependa apenas de x , poderemos tirar essa expressão da integral. Lembre-se que expressões de t não podem ser tiradas da integral, pois t é a variável da integral!

Outra questão é que vamos cair naquele caso que comentei na observação, em que você tem função de x tanto no limite inferior quanto superior. Então... o que é que a gente faz mesmo?

Isso aí: usa aquela propriedade de separar os limites. Vamos transformar em duas integrais: a primeira vai do limite inferior até uma constante C qualquer (lembre-se que isso não faz diferença: basta que C não seja função de x !) e a segunda vai de C até o limite superior que temos agora.

Mãos-à-obra?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro, vamos nos preocupar em tirar o x da integral. Olha bem para aquela expressão que temos dentro da integral: temos uma exponencial elevada a uma soma. Lembra das propriedades de função exponencial?

Quando expoentes se somam, para uma mesma base, é como se ocorresse um produto da base elevada a cada expoente:

e a + b = e a . e b

Então concorda que a expressão que eu tenho é equivalente a:

e 2 x + t 2 = e 2 x . e t 2

Olha só como fica a integral:

F x = sen x cos x e 2 x + t 2 d t = sen x cos x e 2 x   e t 2 d t

Lembra que eu falei que uma expressão em x é como se fosse uma constante para a função que está dentro da integral, já que a variável da função que está dentro da integral é t e não x ? Então podemos tirar aquele e 2 x da integral, certo?

F x = e 2 x sen x cos x   e t 2 d t

Passo 3

Beleza. Agora que já nos livramos daquele x   dentro da integral que estava só atrapalhando, podemos nos concentrar em resolver o problema dos dois limites de integração com funções de x . Também já sabemos como resolver isso, certo?

Vamos dividir os limites de integração através da propriedade:

a b f ( x ) d x + b c f ( x ) d x = a c f ( x ) d x

Lembrando que C é apenas uma constante qualquer independente de x , para podermos utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo. Você não precisa se preocupar com seu valor.

F x = e 2 x sen x cos x e t 2 d t = e 2 x sen x C e t 2 d t + C cos x e t 2 d t

Agora vemos que na primeira integral a função de x está no limite inferior enquanto a constante C está no limite superior. O que fazemos? Isso mesmo: invertemos os limites, invertendo o sinal da integral!

F x = e 2 x - C sen x e t 2 d t + C cos x e t 2 d t

Passo 4

Agora vamos resolver a derivada desse troço. Se não prestarmos atenção, podemos acabar fazendo besteira. Repara aqui comigo. O que queremos é obter a derivada da função F ( x ) . A variável da função F ( x ) é x . Aquele e 2 x saiu da integral mas continua ali dentro de F ( x ) , concorda?

Para F ( x ) , esse e 2 x não é uma constante, porque ele tem a variável x ! Ao aplicarmos o Teorema Fundamental do Cálculo, as integrais também serão transformadas em funções de x . Isso porque substituiremos a variável t pelas funções de x que estão no limite de integração.

Então, no fundo, no fundo, é como se a função F ( x ) estivesse definida como o produto de duas funções de x .

É como se tivéssemos isso aqui, ó:

u x = e 2 x

v x =   - C sen x e t 2 d t + C cos x e t 2 d t

Quando queremos derivar uma função que é produto de duas funções, o que fazemos? Utilizamos a Regra do Produto! Então é isso que vamos fazer aqui!

F ' x = u ' x .   v x + v ' x . u ( x )

Que equivale a:

F ' x = e 2 x ' - C sen x e t 2 d t + C cos x e t 2 d t + e 2 x - C sen x e t 2 d t + C cos x e t 2 d t '

Lembrando que para derivar - C sen x e t 2 d t + C cos x e t 2 d t , usamos a regra da cadeia como eu mostrei na observação 2

F ' x = 2 e 2 x sen x cos x e t 2 d t + e 2 x - e sen 2 x sen x ' + e cos 2 x cos x '

F ' x = 2 e 2 x sen x cos x e t 2 d t + e 2 x - e sen 2 x cos x + e cos 2 x - sen x

F ' x = e 2 x 2 sen x cos x e t 2 d t - e sen 2 x cos x - e cos 2 x sen x

Passo 5

Agora, além de F ' ( x ) , ele pede F ' ( π 4 ) .

F ' x é uma função. Quando queremos calcular o valor de uma função de x em dado ponto, o que fazemos? Não é simplesmente substituir x pelo valor da função naquele ponto?

Então é isso que vamos fazer!

Fazendo x = π 4 :

F ' π 4 = e 2 π 4 2 sen π 4 cos π 4 e t 2 d t - e sen 2 π 4 cos π 4 - e cos 2 π 4 sen π 4

= e π 2 2 2 2 2 2 e t 2 d t - e 2 2 2 2 2 - e 2 2 2 2 2

Quando uma integral tem limites superior e inferior iguais seu resultado é nulo:

a a f x d x = 0

= e π 2 2 0 - e 1 2 2 2 - e 1 2 2 2

= e π 2 - e 1 2 2

= - e π + 1 2 2

Resposta

F ' x = e 2 x 2 sen x cos x e t 2 d t - e sen 2 x cos x - e cos 2 x sen x

F ' π 4 = - e π + 1 2 2

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