Seja f uma função contínua e

x sen ⁡ ( π x ) = ∫ 0 x 2 f t d t

Determine f ( 4 ) .

Passo 1

Para que a gente possa trabalhar com uma igualdade entre f ( x ) e uma função de x que possamos calcular será necessário derivar a expressão. A expressão da direita é mais prática de ser derivada, a da direita precisa ser derivada com o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos derivar um lado de cada vez e igualá-los.

Passo 2

Derivando o termo da esquerda pela Regra do Produto:

x ' sen ⁡ π x + x sen ⁡ π x '

= sen ⁡ π x + x π cos ⁡ π x

= sen ⁡ π x + ( π x ) cos ⁡ π x

Agora o Termo da direita pelo Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ 0 x 2 f t d t ' = f x 2 x 2 '

= 2 x f x 2

Ou seja, a igualdade derivada é:

sen ⁡ π x + π x cos ⁡ π x = 2 x f x 2

Passo 3

Para que apareça ali f ( 4 ) temos que ter x = 2 , pois assim teríamos x 2 = 4 . Vamos substituir x = 2 :

sen ⁡ π x + π x cos ⁡ π x = 2 x f x 2

sen ⁡ 2 π + 2 π cos ⁡ 2 π = 4 f 4

0 + 2 π ( 1 ) = 4 f 4

f 4 = π 2

Resposta

f 4 = π 2

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