Seja g x uma função contínua tal que:

∫ 1 x g t d t = x - 1 e 2 x + ∫ 1 x e - t g t d t ,                       p a r a   t o d o   x ≥ 1

Ache uma fórmula explícita para g .

Passo 1

Vou começar juntando tudo que tem g de um lado só:

∫ 1 x g t d t - ∫ 1 x e - t g t d t = x - 1 e 2 x

∫ 1 x g t 1 - e - t d t = x - 1 e 2 x

Então repara o seguinte, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, podemos escrever o lado direito de uma fórmula explícita, já que cairíamos numa derivada da integral de um termo que é todo em função de t :

∫ 1 x g t 1 - e - t d t ' = g x 1 - e - x x '

= g x 1 - e - x

Igualando essa derivada com a do outro lado da igualdade poderemos achar uma fórmula explícita para o g x !

Passo 2

Derivando o outro lado precisamos da Regra do Produto:

x - 1 e 2 x ' = x - 1 ' e 2 x + x - 1 e 2 x '

= e 2 x + 2 x - 1 e 2 x

= e 2 x 2 x - 1

Igualamos as duas derivadas agora:

∫ 1 x g t 1 - e - t d t ' = x - 1 e 2 x '

g x 1 - e - x = e 2 x 2 x - 1

g x = e 2 x 2 x - 1 1 - e - x

Resposta

g x = e 2 x 2 x - 1 1 - e - x

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