Seja ϕ   :   [ 0 ,   + ∞ ) → R uma função derivável e considere

F t = ∫ 0 ϕ 2 t sen ⁡ x x d x

b Se ϕ ' t = 1 para todo t   ∈   [ 0 ,   + ∞ ) , calcule:

lim t → + ∞ ⁡ F ' ( t )                 e                 lim t → 0 ⁡ F ' ( t )

Passo 1

Partimos da mesma expressão que encontramos antes:

F ' t = sen ⁡ ϕ 2 t ϕ 2 t 2 ϕ t ϕ ' t

Se ϕ ' t = 1 , a expressão diminui:

F ' t = sen ⁡ ϕ 2 t ϕ 2 t 2 ϕ t = 2 sen ⁡ ϕ 2 t ϕ ( t )

Agora, temos algo importante, se ϕ ' ( t ) vale 1 para todo x no domínio, é válido dizer que ϕ ( t ) pode ser encontrado através da integral:

ϕ t = ∫ ϕ ' ( t ) = ∫ 1   d t = t + C

Vamos fazer essa mudança para simplificar a expressão.

F ' t = 2 sen ⁡ ϕ 2 t ϕ ( t ) = 2 sen ⁡ t + C 2 ( t + C )

Para simplificar ainda mais, faremos assim, u = t + C . A parada agora é calcular os dois limites:

I )   lim t → + ∞ ⁡ F ' ( t ) = lim u → + ∞ ⁡ 2 sen ⁡ u 2 u

I I )   lim t → 0 ⁡ F ' ( t ) = lim u → C ⁡ 2 sen ⁡ u 2 u

Passo 2

Para o primeiro limite, substituindo vemos que ele fica indeterminado, uma vez que não sabemos para onde o seno de vai. Dessa maneira, podemos usar o Teorema do Confronto:

- 1 ≤ sen ⁡ u 2 ≤ 1

lim u → + ∞ ⁡ 2 ( - 1 ) u ≤ lim u → + ∞ ⁡ 2 sen ⁡ u 2 u ≤ lim u → + ∞ ⁡ 2 ( 1 ) u

0 ≤ lim u → + ∞ ⁡ 2 sen ⁡ u 2 u ≤ 0

lim u → + ∞ ⁡ 2 sen ⁡ u 2 u = 0

Para o outro limite, substituiremos de primeira:

lim u → C ⁡ 2 sen ⁡ u 2 u = 2 sen ⁡ C 2 C

Agora, repara que t = 0 é parte do domínio, mas se C = 0 , teríamos um problema. Apenas para não restar dúvidas, podemos calcular o limite u → C = 0 .

lim u → 0 ⁡ 2 sen ⁡ u 2 u = lim u → 0 ⁡ 2 sen ⁡ u 2 u u u = lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u 2 u 2 2 u

Podemos separar esses dois limites. O segundo vai a zero. Já o primeiro, cai numa indeterminação 0 / 0 . Por L ' H o s p i t a l você vai notar que ele vai para 1 . Logo,

lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u 2 u 2 2 u = 1 . 0 = 0

Resposta

lim t → + ∞ ⁡ F ' ( t ) = 0                 e                 lim t → 0 ⁡ F ' ( t ) = 2 sen ⁡ C 2 C

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