Seja

f x = ∫ 3 x 2 - 1 2 t - 3 t 4 + 5 d t

( a ) Mostre que f é uma função par

( b ) Calcule f 1

( c ) Calcule a primeira derivada da função f , f '

( d ) Calcule f ' 1

( e ) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f em 1 , f 1

( f ) Determine os pontos críticos de f , e classifique cada um deles.

Passo 1

( a ) Para mostrar que essa função é par, devemos garantir que:

f x = f - x

Para isso, basta olhar para o único termo que varia para x , o limite de integração inferior:

3 x 2 - 1

E veja, nele temos o x elevado ao quadrado. A função x 2 é uma função par. Multiplicando ela por 3 e subtraindo 1 , teremos a mesma situação de paridade na função!

Logo, f x é função par pois 3 x 2 - 1 é par.

Passo 2

( b ) Aplicando x = 1 :

f 1 = ∫ 3 1 2 - 1 2 t - 3 t 4 + 5 d t

= ∫ 2 2 t - 3 t 4 + 5 d t

Os limites de integração são iguais. Logo, essa função será nula em x = 1 , independente da função de t a ser integrada.

Passo 3

( c ) Vamos derivar pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Começamos abrindo a função em duas, uma de 3 x 2 - 1 até uma constante C qualquer. Outra de C até 2 . Com isso, aplicamos o teorema nas duas:

f ' x = ∫ 3 x 2 - 1 2 t - 3 t 4 + 5 d t ' = ∫ C 2 t - 3 t 4 + 5 d t + ∫ 3 x 2 - 1 C t - 3 t 4 + 5 d t '

f ' x = ∫ C 2 t - 3 t 4 + 5 d t - ∫ C 3 x 2 - 1 t - 3 t 4 + 5 d t '

Aplicando o TFC:

f ' x = ∫ C 2 t - 3 t 4 + 5 d t ' - ∫ C 3 x 2 - 1 t - 3 t 4 + 5 d t '

f ' x = 0 - 3 x 2 - 1 - 3 3 x 2 - 1 4 + 5 3 x 2 - 1 '

f ' x = - 3 x 2 - 1 - 3 3 x 2 - 1 4 + 5 6 x

Passo 4

d Aplicando x = 1 em f ' x :

f ' 1 = - 3 1 2 - 1 - 3 3 1 2 - 1 4 + 5 6 1

f ' 1 = - 3 - 1 - 3 3 - 1 4 + 5 6 = - 2 - 3 2 4 + 5 6

f ' 1 = - - 1 16 + 5 6 = 6 21

Passo 5

e Para achar a reta tangente a f nesse ponto 1 , f 1 , precisamos da derivada, que será o coeficiente angular e do valor de f 1 para aplicar o ponto na equação da reta:

y = a x + b

Temos que a = f ' 1 :

a = f ' 1 = 6 21

Além disso,

f 1 = 0

Assim, aplicando a reta em 1,0

0 = 6 21 1 + b   →   b = - 6 21

Logo, a reta será:

y = 6 21 x - 1

Passo 6

f Os pontos críticos de f são aqueles em que:

f ' x = - 3 x 2 - 1 - 3 3 x 2 - 1 4 + 5 6 x

Vale 0 . Assim, reparando que o denominador é um termo elevado a expoente par somado a uma constante positiva, vemos que o denominador será sempre positivo.

Tudo fica na análise do numerador então:

- 3 x 2 - 1 - 3 6 x

= - 3 x 2 - 4 6 x

Teremos três pontos críticos:

3 x 2 - 4 = 0 → x = ± 2 3

6 x = 0 → x = 0

Passo 7

Classificando os pontos, devemos ver se são pontos de máximo ou de mínimo. Para isso, vamos fazer o quadro de sinais de 3 x 2 - 4 - 6 x :

Como dá para ver, em x = - 2 3 temos a derivada positiva antes e negativa depois, o que gera um ponto de máximo. O mesmo acontece em x = 2 3 .

Já em x = 0 temos um ponto de mínimo, pois a derivada é negativa antes e positiva depois.

Resposta

a   ( D e m o n s t r a ç ã o   a c i m a )

b   f 1 = 0

c   f ' x = - 3 x 2 - 1 - 3 3 x 2 - 1 4 + 5 6 x

d   f ' 1 = 6 21

e   y = 6 21 x - 1

f   x = 2 3   e   x = - 2 3   s ã o   p o n t o s   d e   m á x i m o   e   x = 0   d e   m í n i m o

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