Seja

f x = ∫ x 2 1 1 + t 4 d t

É dado que

∫ 1 2 1 1 + t 4 d t = 0,2

  1. Determine f ' 1
  2. Ache a área do triangulo limitado pelos eixos e pela reta tangente ao gráfico de f no ponto 1 , f 1 .

Passo 1

  1. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, nós temos que se uma função continua f x é dada por

f x = ∫ 1 x g t   d t

Então,

f ' x = g ( x )

Ok, mas como eu aplico isso para resolver a letra a?

Repara que aqui queremos achar a derivada de uma função em x , que é a f ' x .

E a f ( x ) é definida como uma integral, que tem como variável t . Ou seja, podemos dizer que

g t = 1 1 + t 4

Opa, isso é um indicativo que podemos resolver pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Então vamos aplica-lo para achar f ' x .

Passo 2

Antes de aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, repara em uma coisinha:

No problema o x está no limite inferior e a constante no limite superior. E o para resolver pelo Teorema Fundamental do Cálculo, como no exemplo do Passo 1, teria que ser o contrario.

Mas fica tranquilo, que é só usar aquela propriedade de troca de limites esperta para inverter os limites, lembra?

A gente simplesmente inverte os limites da integração e coloca um sinal de menos na frente da integral. Então utilizando a propriedade fica assim:

f x = ∫ x 2 1 1 + t 4 d t = - ∫ 2 x 1 1 + t 4 d t

Passo 3

Agora sim nós podemos aplicar nosso maravilhoso Teorema Fundamental do Cálculo. Bom, já que temos agora que:

f x = - ∫ 2 x 1 1 + t 4 d t

E dado que a função 1 1 + t 4 é contínua no intervalo 2 , + ∞ .

Então podemos aplicar o teorema nesse caso, chegando nisso aqui:

f ' ( x ) = - 1 1 + x 4

Passo 4

O que a questão pede é f ' 1 e não f ' ( x ) . Observe que f ' x é uma função. Quando queremos calcular o valor de uma função de x em dado ponto, o que fazemos? Não é simplesmente substituir x pelo valor da função naquele ponto?

Então é isso que vamos fazer!

Fazendo x = 1 :

f ' 1 = - 1 1 + ( 1 ) 4 = - 1 2

Passo 5

b) Para acharmos essa área, primeiro temos que achar a reta tangente. E como que achamos a reta tangente? Vamos fazer igual quando fazíamos lá em derivadas:

y = f ( x 0 ) + f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Como ele pede para o ponto   1 , f 1 :

y = f ( 1 ) + f ' ( 1 ) ( x - 1 )

Para a nossa alegria, já temos o valor de f ' ( 1 ) que calculamos no passo anterior, que é igual a - 1 2 .

Agora vamos encontrar f ( 1 )

Passo 6

Antes disso, vamos chamar a primitiva da integral de P ( t ) .

Ok, perceba que ele deu a seguinte expressão no enunciado:

∫ 1 2 1 1 + t 4 d t = 0,2

Se a gente tivesse que calcular isso passo-a-passo, primeiro a gente encontraria a primitiva para depois substituir os limites de integração, assim:

∫ 1 2 1 1 + t 4 d t = P 2 - P 1 = 0,2

Agora compare com a expressão de f ( x ) :

f x = ∫ x 2 1 1 + t 4 d t = P 2 - P ( x )

Percebe que a função de t dentro da integral não mudou? Então a primitiva, P ( t ) , é a mesma.

A única coisa que mudou foi que o x que aparecia no limite inferior da integral virou 1 .

Então quando a gente substituir 1 na expressão, teremos,

f x = P 2 - P ( x )

f 1 = P 2 - P 1 = 0,2

Beleza, agora vamos montar a nossa equação:

y = f ( 1 ) + f ' ( 1 ) ( x - 1 )

y = 0,2 - 1 2 ( x - 1 )

y = - x 2 + 0,7

Passo 7

Agora que já temos a equação da reta tangente, podemos traçar o gráfico para calcular a área:

Temos uma região que corresponde a um triângulo retângulo. Já sabemos que a área de um triângulo é dada por:

A = b a s e   .   a l t u r a 2

A base é a distância do ponto onde a reta corta o eixo x até o ponto ( 0,0 ) . Por isso, basta descobrimos onde a reta corta o eixo x . Ela corta o eixo x quando y = 0 , concorda?

Então basta substituirmos y = 0 na equação da reta e acharmos o valor de x correspondente, beleza?

Temos   y = - 1 2 x + 0,7 . Fazendo y = 0 :

0 =   - 1 2 x + 0,7 → x = 1,4

Já a altura será 0,7 , que é o ponto onde a reta tangente corta o eixo y . Portanto, a área pedida será:

A = 1,4 .   0,7 2

A = 0,49 u . a .

Onde “u.a.” significa unidade de área.

Resposta

  1. f ' 1 = - 1 2
  2. A = 0,49 u . a .

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