Seja

f x = ∫ 0 x 3 t 2 - 1 1 + t 2 + t 4 d t

Mostre que f é impar

Passo 1

Para ver se f é impar temos que achar f - x , mas a função f x aqui é uma integral, então para isso temos que na verdade mudar o sinal do limite de integração, vamos fazer a substituição

u = - t

Que seria para testar se a função dentro da integral muda o seu sinal ou não.

Derivando vamos ter

d u = - d t

Agora temos que arruma os limites de integração

t = 0 → u = - 0 = 0

t = x 3 → u = - x 3 = - x 3

Vamos substituir na integral

∫ 0 x 3 t 2 - 1 1 + t 2 + t 4 d t = ∫ 0 - x 3 - u 2 - 1 1 + - u 2 + - u 4 - d u = - ∫ 0 - x 3 u 2 - 1 1 + u 2 + u 4 d u

Repara que chegamos na mesma integral, só que o limite de integração vai ser com o x tendo sinal trocado, então vamos ter

f x = - ∫ 0 - x 3 u 2 - 1 1 + u 2 + u 4 d u = - f - x

Logo a função é impar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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