Seja f x = ∫ 0 sen ⁡ ( x ) t 2 - 5 t + 6 1 + t 2 d t . Encontre os pontos críticos (números críticos) de f .

Passo 1

Para achar os pontos críticos de f ( x ) devemos procurar pelos pontos onde a derivada é nula, ou seja, pelas soluções de f ' x = 0 . Vamos começar derivando a função pelo Teorema Fundamental :

∫ 0 sen ⁡ x t 2 - 5 t + 6 1 + t 2 d t ' = sen 2 ⁡ x - 5 sen ⁡ x + 6 1 + sen 2 ⁡ x sen ⁡ x '

= sen 2 ⁡ x - 5 sen ⁡ x + 6 1 + sen 2 ⁡ x cos ⁡ ( x )

Para achar os pontos onde f ' x = 0 temos que procurar os pontos onde

sen 2 ⁡ x - 5 sen ⁡ x + 6 = 0       e   cos ⁡ x = 0

Passo 2

Primeiro vou substituir sen ⁡ ( x ) por u e mexer no primeiro termo:

u 2 - 5 u + 6 = 0

u - 2 u - 3 = 0

u = 2 ; u = 3

Porém, como u = sen ⁡ ( x ) e seno nunca valerá mais do que 1 , u = 2 e u = 3 são valores inatingíveis e, por isso, impossíveis.

Passo 3

Os pontos onde cos ⁡ ( x ) = 0 são ± π 2 , ± 3 π 2 , ± 5 π 2 , … , ou seja, quando x = n π + π 2 , com n pertencente aos números inteiros.

Logo, somando as duas soluções, concluímos que os pontos em que f ' x = 0 são:

x = n π + π 2 ,   n   ∈   Z

Resposta

x = n π + π 2 ,   n   ∈   Z

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