Sejam f e g funções contínuas em R tais que:

∫ - 2 1 f x d x = 3

∫ - 2 1 g x d x = 2

∫ - 2 0 f x d x = 5

  1. Calcule:
  2. ∫ - 2 1 [ f x + 3 g x ] d x

    ∫ 0 1 f x d x

  3. Calcule G ( 1 ) e G ' ( x ) , sendo G definida por:

G x = ∫ 0 x 2 f t d t

Passo 1

Como a integral distribui na soma:

∫ - 2 1 [ f x + 3 g x ] d x = ∫ - 2 1 f x d x + 3 ∫ - 2 1 g x d x

∫ - 2 1 [ f x + 3 g x ] d x = 3 + 3 * 2

∫ - 2 1 [ f x + 3 g x ] d x = 9

Passo 2

Além disso:

∫ - 2 1 f x d x = ∫ - 2 0 f x d x + ∫ 0 1 f x d x

Isolando:

∫ 0 1 f x d x = ∫ - 2 1 f x d x - ∫ - 2 0 f x d x

∫ 0 1 f x d x = 3 - 5

∫ 0 1 f x d x = - 2

Passo 3

Aplicando a definição:

G 1 = ∫ 0 1 f t d t

Pelo que foi calculado anteriormente:

G 1 = - 2

Passo 4

Seja F ( x ) a antiderivada de f ( x ) . Pelo teorema fundamental do cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Pela definição de G ( x ) :

G x = ∫ 0 x 2 f t d t

G x = F x 2 - F 0

Passo 5

Derivando ambos os lados com respeito à x :

G ' x = d F x 2 d x

Pela regra da cadeia:

G ' x = 2 x   F ' x 2

Onde F ' = f :

G ' x = 2 x f x 2

Resposta

a)

∫ - 2 1 [ f x + 3 g x ] d x = 9

∫ 0 1 f x d x = - 2

b)

G 1 = - 2

G ' x = 2 x f x 2

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