Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo

PUCRIO, Cálculo B - MAT1158, G1 - 2019.1, Questão Q01

Sejam f e g funções deriváveis e h uma função contínua tais que:

f x = 2 x g x h t   d t

Sabendo que g 1 = 2 , g ' 1 = - 1 e h 2 = 3 , determine:

  1. f 1 e f ' 1
  2. A equação da reta tangente ao gráfico de f em x = 1

Passo 1

Pra começarmos essa questão vamos primeiro achar o valor de f 1 já que ele não envolve derivar. Pra isso, basta trocar x por 1 na fórmula de f x , tranquilin:

f 1 = 2 1 g 1 h t   d t

f 1 = 2 2 h t   d t

Opa, perá ai, vo precisar saber a expressão de h t pra integrar? Calma gafanhoto, nem precisa! Afinal, das propriedades das integrais, quando os dois limites de integração são iguais, temos que a integral zera:

f 1 = 2 2 h t   d t = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, pra f ' x vamos precisar derivar. E aí se usarmos Teorema Fundamental do Cálculo, ou TFC pros íntimos, também resolvemos sem precisar saber quem é h t . Manipulando um pouco, temos:

f x = 2 x g x h t   d t = 2 x a h t   d t + a g x h t   d t

f x = - a 2 x h t   d t + a g x h t   d t = a g x h t   d t - a 2 x h t   d t

Derivando então, vamos ter, segundo o TFC:

f ' x = a g x h t   d t ' - a 2 x h t   d t '

f ' x = h g x g ' x - h 2 x 2 x '

f ' x = h g x g ' x - 2   h 2 x

Aplicando x = 1 :

f ' 1 = h g 1 g ' 1 - 2   h 2

f ' 1 = h 2 - 1 - 2   3

f ' 1 = 3 - 1 - 6

f ' 1 = - 3 - 6

f ' 1 = - 9

Passo 3

Show de bola, agora vamos achar a equação da reta tangente. Pra isso, enunciamos o modelo primeiro:

y = m x - x 0 + y 0

Onde:

  • x 0 , y 0 são coordenadas do ponto de tangência
  • m é a inclinação da reta tangente.

Seja

  • x 0 = 1 ; do enunciado
  • y 0 = f x 0 = f 1
  • m = f ' x 0 = f ' 1

A equação da reta tangente fica:

y = f ' 1 x - 1 + f 1

E opa, f 1 e f ' 1 já foram calculados! Basta a gente substituir os valores então e fechamos essa equação de reta tangente:

f 1 = 0

f ' 1 = - 9

y = - 9 x - 1

y = - 9 x + 9

y = 9 - 9 x

Resposta

  1. f 1 = 0 f ' 1 = - 9
  2. y = 9 - 9 x

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