Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

UFRJ, Álgebra Linear, P1 - 2018.1, Questão 17

Cada Equation representa um número diferente de 0. (Diferentes Equation ’s podem assumir valores distintos!). O sistema que pode não ter solução é:

Passo 1

Todas as alternativas mostram sistemas com 4 equações e 4 incógnitas. Vamos chama-las de Equation , Equation , Equation e Equation , de forma que um vetor solução seria da forma:

Equation

Para que um sistema com 4 equações e 4 incógnitas não tenha solução, o que deve acontecer é haver duas ou mais linhas que são incompatíveis.

Olha esse exemplo:

Equation

O sistema é impossível, porque Equation não pode ser 1 e 4 ao mesmo tempo.

Agora vamos ver caso a caso e analisar em qual deles a solução pode não existir.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Repare que a terceira e a quarta linha têm os quadradinhos e zeros nas mesmas posições.

Nessas linhas, podemos ter uma relação que mostra inconsistência entre as equações e a solução pode não existir.

Podemos ter, nessas duas linhas, por exemplo:

Equation

Ou seja, multiplicamos o lado esquerdo da primeira linha por 2, mas fizemos algo diferente com o lado esquerdo (multiplicamos por 3), e não existem números que satisfaçam essas duas condições simultaneamente.

Como uma situação desse tipo pode acontecer na matriz dada nessa alternativa, ela é a nossa resposta.

Mas vamos continuar vendo as outras alternativas e ver por que a solução pode existir em cada uma delas.

Passo 3

Note que nesse caso, conseguimos tirar da segunda equação o valor de Equation .

Substituindo na quarta equação, temos o valor de Equation

Substituindo os dois na primeira, obtemos Equation e, por fim, tiramos Equation da última equação.

Então, esse sistema tem solução.

Passo 4

Seguindo a mesma ideia de antes, conseguimos achar Equation na segunda equação.

Colocando na terceira, achamos Equation .

Se substituirmos Equation na quarta equação, achamos Equation .

Por último, conseguimos encontrar Equation a partir da primeira equação.

Então, o sistema tem solução.

Passo 5

Agora, obtemos Equation na primeira equação.

Substituindo esse valor na última, obtemos Equation .

Substituindo o valor de Equation na terceira, obtemos Equation .

A partir dos valores de Equation e Equation , usamos a segunda equação para encontrar Equation .

Logo, o sistema tem solução.

O único caso em que a solução não necessariamente existe é no sistema da letra (a).

Resposta

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