Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

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Enunciado

10) O sistema seguinte não tem solução para quais valores de a ? Exatamente uma solução? Infinitas soluções?

x + 2 y - 3 z   =     4 3 x - y + 5 z = 2 4 x + y + a 2 - 14 z = a + 2

Passo 1

Oi pessoal, como vão?? Me contaram aqui que vocês estão suuuper animados com essa resolução, felizes pra caramba, como nunca estiveram!! 

Não quero saber de desânimo!! Bora transformar ela em algo legal e mais atrativo? hahahaha a gente consegue, acreditem!! Bora lá!! 

O enunciado pergunta para quais valores de a o sistema não tem soluções.

Tá, mas como descobrimos isso?

Antes de tudo, o meio mais fácil de trabalharmos com o sistema que o enunciado deu é transformando-o em matriz aumentada!

Então, vamos ter o seguinte:

1 2 - 3 3 - 1 5 4 1 a 2 - 1 4   4 2 a + 2

Tá, mas como isso me ajuda aqui?

A matriz do jeito que está ali em cima não vai nos ajudar muito mesmo, e pra deixarmos ela funcional, devemos primeiramente escaloná-la, de modo a deixar os números abaixo da diagonal principal igual a zero!

Vamos lá então!

Passo 2

Para deixar a matriz acima com 0 abaixo da diagonal principal vamos realizar algumas operações de linhas! Pra isso vamos chamar as linhas 1 ,   2   e 3 de L 1 ,   L 2 e L 3 , respectivamente.

Começaremos com: L 2 = L 2 - 3 L 1 :

Agora, faremos L 3 = L 3 - 4 L 1 :

Então, multiplicaremos L 2 por - 1 7 :

Por fim, faremos L 3 = L 3 + 7 L 2 :

Prontinho! Encontramos um formato simplificado por escalonamento da nossa matriz aumentada.

Mas e agora? O que eu faço com isso?

Calma que é mais simples do que parece!

Passo 3

Para que o sistema não possua soluções, a última equação deve ser impossível. Isso acontece se a 2 - 16 for igual a zero e a - 4 não.

Vamos então analisar a última equação, lembrando que a matriz aumentada tem apenas os coeficientes no lado esquerdo. Assim, após o escalonamento, o que temos, na realidade, pela última equação é que:

a 2 - 16 ⋅ z = a - 4

∴ z = a - 4 a 2 - 16

Não queremos que o sistema tenha solução, então z não pode ter solução. Isso vai acontecer quando??

É só lembrar do 13 °   mandamento: Não dividirás por zero!!!

Portanto, para que não haja solução devemos ter:

a 2 - 16 = 0

⇒ a =   ±   4

É isso então?? Opaaa. Tem um detalhe, se tivermos algo do tipo 0 / 0   é uma indeterminação matemática, é como se o sistema tivesse infinitas soluções. Então, devemos ter o numerador diferente de zero. Logo:

a - 4 ≠ 0

∴ a ≠ 4

Daí, fazendo intersecção desses dois casos, temos que o sistema é impossível apenas se:

a =   - 4

Eaí, entendeu direitinho? 😊

Sendo assim:

a 2 - 16 = 0   → a = ± 4

a - 4 ≠ 0   → a ≠ 4

Assim, como chegamos a conclusão que a = - 4 !

Então, o sistema não apresenta soluções quando a = - 4 !

Uhul!! Terminamos pessoal! Mais simples do que parece, não é mesmo?

Bora lá pra próxima então?

Resposta

a = - 4

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Quais são os vértices da região poliedral convexa em R 2 , definida por x ≥ 0 2 x + 3 y ≤ 2 3 x + 2 y ≤ 2 x + y ≤ 1 Desenha esta região.
Desenhe a região em R 2 , definida pelas desigualdades 2 x + y + 9 ≥ 0 - x + 3 y + 6 ≥ 0 x + 2 y - 3 ≤ 0
Resolva o sistema de equações, escrevendo as matrizes ampliadas, associadas aos novos sistemas. 2 x - y + 3 z = 11 4 x - 3 y + 2 z = 0 x + y + z = 6 3 x + y + z = 4