Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

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Enunciado

Se a ∈ R , é correto afirmar que o sistema linear

2 y + a z = a a - 2 x + y + 3 z = 0 a - 1 y = 1 - a

  1. Possível e indeterminado se, e somente se, a = 1 ;
  2. Possível e determinado se, e somente se, a ≠ 0 e a ≠ 2 ;
  3. Impossível se, e somente se, a ≠ 0 ;
  4. Possível e determinado se, e somente se, a = 1 ;
  5. Impossível se, e somente se, a ≠ 2 ;

Passo 1

Faaaaala, pessoal! Para avaliar sistemas como esses, devemos montá-lo na forma matricial, separando os coeficientes em colunas, e escaloná-lo. Se ao final do escalonamento, ainda tivermos todas as linhas não-nulas, então o sistema é possível e determinado. Do contrário, temos que avaliar condições como:

f a x = g ( a )

Se f a = g a = 0 , o sistema é possível e indeterminado, contudo se f a = 0 e g a ≠ 0 , o sistema é impossível.

Passo 2

Nesse pique, considere a forma matricial do sistema:

0 2 a a - 2 1 3 0 a - 1 0 a 0 1 - a

No algoritmo do escalonamento, podemos aplicar 3 tipos de operações: troca de linhas, multiplicação de uma linha por escalar e, ainda, somar linhas. Estas visam fixar elementos não-nulos na diagonal principal e zerar os outros até que se obtenha o máximo de zeros possíveis. Assim:

0 2 a a - 2 1 3 0 a - 1 0 a 0 1 - a L 1 ' → L 2 ⇒ L 2 ' → L 1 / 2 a - 2 1 3 0 1 a / 2 0 a - 1 0 0 a / 2 1 - a L 1 ' → L 1 - L 2 ⇒  

⇒ a - 2 0 3 - a / 2 0 1 a 2 0 a - 1 0 - a / 2 a 2 1 - a

Para não espalhar muito os lugares em que temos a incógnita a , vamos abrir em casos. Repare que a última linha indica que seria interessante analisarmos a = 1 :

- 1 0 5 / 2 0 1 1 2 0 0 0 - 1 / 2 1 2 0 L 1 ' → - L 1 ⇒   1 0 - 5 / 2 0 1 1 2 0 0 0 1 / 2 1 2 0

Como temos uma linha nula, o sistema já não pode ser determinado. Contudo observe que conseguimos escrever a 1ª e 2ª incógnita em função da 3ª:

x = 1 2 + 5 2 z ,             y = 1 2 - 1 2 z

Logo, o sistema seria possível e indeterminado.

Passo 3

Por outro lado, se a ≠ 1 , veja que a - 1 ≠ 0 , logo podemos dividir a última linha por esse valor:

a - 2 0 3 - a / 2 0 1 a 2 0 a - 1 0 - a / 2 a 2 1 - a   ⇒ L 3 ' → L 3 / ( a - 1 )

⇒ a - 2 0 3 - a / 2 0 1 a 2 0 1 0 - a / 2 a 2 - 1 L 3 ' → L 2 ⇒ L 2 ' → L 3

⇒ a - 2 0 3 - a / 2 0 1 0 0 1 a 2 - a / 2 - 1 a 2 L 3 ' → L 3 - L 2 ⇒  

⇒ a - 2 0 3 - a / 2 0 1 0 0 0 a 2 - a / 2 - 1 a 2 + 1 L 1 ' → L 1 + L 3 ⇒  

⇒ a - 2 0 3 0 1 0 0 0 a 2 1 - 1 a 2 + 1

Novamente, vamos abrir em casos em prol da última linha. Se a = 0 , veja que a 2 z = 0 ≠ 1 = a 2 + 1 , logo o sistema é impossível.

Passo 4

Contudo, se a ≠ 0 e a ≠ 1 , dividimos a última linha e:

a - 2 0 3 0 1 0 0 0 1 1 - 1 1 + 2 / a L 1 ' → L 1 - 3 L 3 ⇒  

⇒ a - 2 0 0 0 1 0 0 0 1 - 2 - 6 / a - 1 1 + 2 / a

A primeira linha indica que devemos abrir em casos novamente. Se a = 2 , o sistema torna-se:

0 0 0 0 1 0 0 0 1 - 5 - 1 2

A primeira linha indica que o sistema é impossível. E se a ∉ { 0,1 , 2 } , o sistema tem todas as linhas não-nulas e não se pode reduzir, logo é possível e determinado.

Passo 5

Assim, se a ∉ { 0,1 , 2 } , o sistema é possível e determinado, se a ∈ { 0,2 } , o sistema é impossível, enquanto a = 1 implica sistema possível e indeterminado.

Resposta

  1. Possível e indeterminado se, e somente se, a = 1 ;

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