Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

Considere o sistema:

3 x + 2 y + 5 z = 2 a x + y + 2 z = a 8 x - y + b z = - b

Faça o que se pede abaixo:

i. Determine os valores de a e b para que o sistema tenha uma única solução e calcule sua solução.

ii. Determine os valores de a e b para que o sistema tenha infinitas soluções e calcule suas soluções.

iii. Determine os valores de a e b para que o sistema não tenha soluções.

Passo 1

Precisamos analisar a existência de solução desse sisteminha.

Então vamos começar montando a matriz aumentada dele:

Só pra ficar mais fácil pra gente, vamos trocar a primeira linha com a segunda:

E agora vamos escalonar isso aí:

L 2 ← L 2 - 3 L 1

L 3 ← L 3 - 8 L 1

L 3 ← L 3 - 9 L 2

L 1 ← L 1 + L 2

L 2 ← ( - 1 ) L 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

i. Para que o sistema tenha solução, todas as equações devem fazer sentido, né?

E mais do que isso, pra solução ser única, os valores das incógnitas devem ser bem definidos.

Então na última linha dessa matriz, teremos que ter:

b - 7 ≠ 0 ∴ b ≠ 7

Pois assim ficaremos com um número diferente de 0 igual a um outro número qualquer.

Aí as demais incógnitas vão ficar bem definidas também.

Pra ver isso é só continuar escalonando:

L 3 ←   L 3 b - 7

L 2 ←   L 2 - L 3

L 1 ←   L 1 - L 3

Então a solução única vai ser:

x = - a - b b - 7

y = a - a - b b - 7

z = a - b b - 7

Passo 3

ii. Pra que o sistema tenha infinitas soluções, a última linha da matriz aumentada escalonada deve ser da forma:

0 = 0

Então:

a = b = 7

Nesse caso a matriz vai ficar:

Pela primeira linha:

x + z = 0 ∴ x = - z

Pela segunda linha:

y + z = a ∴ y = a - z

E as soluções vão ser do tipo:

x , y , z = - z , a - z , z ,   c o m   z   ∈ R

Passo 4

iii. Pra não ter solução, as equações devem ser incoerentes.

Então na última linha da matriz aumentada escalonada, devemos ter:

0 = um número diferente de 0

Pra isso ocorrer:

b = 7

a ≠ b

Resposta

i. b ≠ 7

a qualquer

Solução: x = - a - b b - 7

y = a - a - b b - 7

z = a - b b - 7

ii. a = b = 7

Infinitas soluções da forma: x , y , z = - z , a - z , z ,   c o m   z   ∈ R

iii. b = 7

a ≠ b

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