Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

UFPE, Álgebra Linear, 1 a EE – 2017.2, Questão 01

Considere o seguinte sistema de equações lineares:

x + y - z = 1 x + 2 y + z = 1 2 x + 3 y + a 2 - 4 z = a

a)Determine os valores de a para os quais o sistema tem infinitas soluções, e determine o conjunto solução.

b)Para que valores de a o sistema não tem solução?

c)O sistema acima com a = 2 tem matriz ampliada linha-equivalente à matriz ampliada do seguinte sistema?

x + y + z = 3 y + z = - 1 2 z = 2

Passo 1

a)

Para começar vamos passar esse sisteminha para a forma de matriz aumentada:

1 1 - 1 1 2 1 2 3 a 2 - 4 1 1 a → L 2 → L 2 - L 1 L 3 → L 3 - 2 L 1 1 1 - 1 0 1 2 0 1 a 2 - 2 1 0 a - 2 → L 3 → L 3 - L 2 1 1 - 1 0 1 2 0 0 a 2 - 4 1 0 a - 2

Para termos infinitas soluções uma das linhas tem que zerar, no caso vai ser a última, então:

a 2 - 4 = 0               e a - 2 = 0

a = ± 2 e           a = 2

Assim, a tem que ser igual a 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora o conjunto solução, qual vai ser?

É só resolvermos o sistema zerando a ultima linha:

1 1 - 1 0 1 2 1 0 → x + y - z = 1 y - 2 z = 0 ⟹ y = 2 z

Substituindo esse valor de y na primeira equação:

x + 2 z - z = 1 ⟹ x + z = 1 ⟹ x = 1 - z

x , y , z = 1 - z , 2 z , z = 1,0 , 0 + z ( - 1,2 , 1 )

Assim a solução vai ser:

1,0 , 0 + ( - 1,2 , 1 )

Passo 3

b)

Estamos falando de valores de a de novo, então vamos voltar para a matriz aumentada que achamos ali em cima:

1 1 - 1 0 1 2 0 0 a 2 - 4 1 0 a - 2

Para o conjunto não ter solução essa última equação deve ser impossível. Isso acontece se a 2 - 4 for igual a zero e a - 2 não.

Vimos quando resolvemos a 2 - 4 = 0 que isso assume duas possíveis respostas: 2 e -2, mas, quando a = 2 ,     a - 2 vai ser zero também, o que não queremos!

Assim, chegamos a conclusão que a = - 2 .

Passo 4

c)

Bom, se a = 2 , sabemos que o nosso sistema vai ter infinitas soluções.

Além disso, para serem sistemas equivalentes, preciso que a solução dos dois seja a mesma! Podemos então, ver qual é a solução desse novo sistema apresentado pra gente.

x + y + z = 3 y + z = - 1 2 z = 2

Tenho de cara que z = 1 , substituindo na segunda equação:

y + z = - 1 ⟹ y = - 2

Substituindo esses valores agora na primeira:

x + y + z = 3 ⟹ x - 2 + 1 = 3 ⟹ x = 4

Então minha solução é o vetor 4 , - 2 , 1 .

Não preciso nem voltar lá na letra a) pra lembrar qual era o outro conjunto solução. Só de ver que esse tem solução única e o outro infinitas soluções, minha hipótese já foi quebrada!

Os sistemas não são equivalentes.

Passo 5

Resposta

a) a = 2 , 1,0 , 0 + ( - 1,2 , 1 )

b) a = - 2

c) Não

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