Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

Ver Teoria

Enunciado

Considere o sistema de equações lineares

x - 2 y + k z = - 1 2 x - 2 y + 3 + 2 k z = 2 4 x - 10 y + k 2 z = k - 9

Onde k é um número real

b) Com base na matriz obtida no item (a), determine para quais valores de k o sistema não admite solução, para quais admite uma única solução, e para quais valores admite infinitas soluções.

Passo 1

Faaaaala pessoal, tudo certo? Vamos lá pra esse próximo item

Antes de tudo, vamos lembrar a matriz aumentada que obtivemos no item a, foi essa aqui:

1 - 2 k 0 1 3 2 0 0 k 2 - 4 k + 3 - 1 2 k - 1

Belezinha, agora queremos saber para quais valores de k o sistema do enunciado

- Não tem solução

- Tem uma solução

- Tem infinitas soluções

Caaalma que é mais simples do que parece. Quando temos uma matriz escalonada e queremos analisar a existência de soluções, vamos fazer o seguinte:

- Para não ter solução: a equação da última linha tem que ser impossível. Resumindo: o k 2 - 4 k + 3 tem que zerar e o k - 1 tem que ser diferente de 0

- Para ter infinitas soluções: precisamos ter menos equações do que incógnitas

- Para ter uma solução: nenhuma das duas situações anteriores será cumprida

Repara que nem vamos precisar analisar o k da primeira linha hehehe

Então vamosss analisar esses valores de k

Passo 2

Primeiramente, para que o sistema não tenha solução, vamos verificar quando

k 2 - 4 k + 3 = 0

E:

k - 1 ≠ 0

Então temos

k 2 - 4 k + 3 = 0

k = 4 ± - 4 2 - 4 ∙ 1 ∙ 3 2

k = 4 ± 2 2

Então

k = 1   o u   k = 3

Beleza, esses são os valores que zeram o coeficiente de z . Mas ao mesmo tempo, precisamos que

k - 1 ≠ 0

k ≠ 1

Logo, o sistema não possui solução para k = 3

Passo 3

Para que o sistema tenha infinitas soluções, a terceira equação da matriz escalonada tem que zerar completamente, porque assim teremos 3 incógnitas para duas equações

Então precisamos que:

k 2 - 4 k + 3 = k - 1 = 0

Como vimos no passo anterior, k 2 - 4 k + 3 = 0 quando k = 1 ou k = 3

Enquanto k - 1 = 0 para k = 1

Então, as duas expressões zeram quando k = 1

Portanto, o sistema possui infinitas soluções quando k = 1

Passo 4

Por fim, o sistema vai ter apenas uma solução quando nenhuma das situações dos passos anteriores acontecer, ou seja, quando

k ≠ 1

k ≠ 3

Sucesso!!

Resposta

Uma solução: k ≠ 3

Infinitas soluções: k = 1

Nenhuma solução: k = 3

Exercícios de Livros Relacionados

Se duas regiões poliedrais convexas são definidas por dois conjuntos de desigualdades lineares, a interseção destas regiões é definida por qual conjunto de desigualdades?
Quais são os vértices da região poliedral convexa em R 2 , definida por x ≥ 0 2 x + 3 y ≤ 2 3 x + 2 y ≤ 2 x + y ≤ 1 Desenha esta região.
Desenhe a região em R 2 , definida pelas desigualdades 2 x + y + 9 ≥ 0 - x + 3 y + 6 ≥ 0 x + 2 y - 3 ≤ 0
Resolva o sistema de equações, escrevendo as matrizes ampliadas, associadas aos novos sistemas. 2 x - y + 3 z = 11 4 x - 3 y + 2 z = 0 x + y + z = 6 3 x + y + z = 4