Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

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Enunciado

Seja n um inteiro positivo, e sejam A ∈ M n ( R ) e B ∈ M n × 1 ( R ) . Denote a matriz transposta de A por A t . Utilizando a notação matricial para sistemas lineares, está correto afirmar que

Escolha uma:

a) Se A X = 0 tem infinitas soluções, então A t X = B tem infinitas soluções

b) Se A X = 0 tem apenas a solução trivial, então A t X = 0 tem apenas a solução trivial

c) Se A X = B tem uma única solução, então A t X = 0 tem infinitas soluções

d) Se A t X = B não tem solução, então A X = 0 tem apenas a solução trivial

e) Se A t X = 0 tem infinitas soluções, então A X = B tem infinitas soluções

Passo 1

Oii galera, vamos lá pra mais uma?

Nesse exercício, vamos analisar alternativa por alternativa ok?

Mas basicamente, estamos falando de sistemas lineares envolvendo matrizes transpostas 😉 e o que precisamos lembrar para analisar as alternativas é:

- Se A X = 0 possui infinitas soluções, então det ⁡ A = 0

- Se A X = 0 não possui solução, então det ⁡ A = 0

- Se A X = 0 tem apenas a solução trivial, então det ⁡ A ≠ 0

- Se A X = B tem apenas uma solução, então det ⁡ A ≠ 0

- O determinante de uma matriz é igual ao da sua transposta

Belezinha? Então vamos lá fazer as análises

Passo 2

A alternativa A diz que se A X = 0 tem infinitas soluções, então A t X = B tem infinitas soluções

Bom, se A X = 0 tem infinitas soluções, então det ⁡ A = det ⁡ A t = 0

Ta bem, já sabemos que o determinante de A t vale 0 . Mas isso quer dizer que ou ele tem infinitas soluções ou ele não tem nenhuma. Repara lá nas informações do passo 1, os dois casos têm o determinante igual a 0 .

Então não podemos afirmar com toda a certeza do mundo que A t X = B também vai ter infinitas soluções, né?

Essa alternativa está erradaaaa

Passo 3

A alternativa B fala que se A X = 0 tem apenas a solução trivial, então A t X = 0 tem apenas a solução trivial

Bem, a gente sabe que se A X = 0 tem apenas a solução trivial, então det ⁡ A ≠ 0 e det ⁡ A t ≠ 0

Se o determinante é diferente de 0 , com certeza o sistema só possui a solução trivial. Então, commm certeza o A t X = 0 possui só a solução trivial também

A alternativa B está correta 😊

Passo 4

Vamos ver porque as outras alternativas estão erradas

A letra C diz que se A X = B tem uma única solução, então A t X = 0 tem infinitas soluções

Mas se A X = B tem uma única solução, então det ⁡ A ≠ 0 e det ⁡ A t ≠ 0 . Então A t X = 0 não pode ter infinitas soluções, porque o seu determinante teria que ser 0

A letra D diz que se A t X = B não tem solução, então A X = 0 tem apenas a solução trivial

Se A t X = B não tem solução, então det ⁡ A t = det ⁡ A = 0 . Logo, A X = 0 tem infinitas soluções ou não tem nenhuma

A letra E fala que se A t X = 0 tem infinitas soluções, então A X = B tem infinitas soluções.

Temos que det ⁡ A t = 0 = d e t ⁡ ( A ) . Mas assim como na letra A, pode acontecer de A X = B ter infinitas soluções ou não ter nenhuma, certo?

Então, a alternativa correta é a letra B mesmo 😉

Resposta

B

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