Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

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Enunciado

Sejam α , β ∈ R . Então, o sistema linear

- x 2 + x 4 = α x 1 + x 3 + β x 4 = 2 x 1 + 2 x 2 + x 3 = - 1

Nas variáveis x 1 , x 2 , x 3 , x 4 é impossível se, e somente se,

Escolha uma:

a) α ≠ 5 2 e β = 1

b) α ≠ 1 e β = 4

c) α ≠ - 1 2 e β = - 2

d) α ≠ - 3 2 e β = - 1

e) α ≠ 3 2 e β = 2

Passo 1

Oiii gente, tudo certinho?

Se liga só, nesse exercício vamos falar sobre a existência de soluções em um sistema linear

Queremos saber para quais valores de α e β esse sistema vai ser impossível, ou seja: não vai possuir solução

- x 2 + x 4 = α x 1 + x 3 + β x 4 = 2 x 1 + 2 x 2 + x 3 = - 1

O primeiro passo de todos é escrevermos esse sistema na forma matricial:

0 x 1 - x 2 + 0 x 3 + 1 x 4 = α 1 x 1 + 0 x 2 + 1 x 3 + β x 4 = 2 1 x 1 + 2 x 2 + 1 x 3 + 0 x 4 = - 1

0 - 1 0 1 1 0 1 β 1 2 1 0 α 2 - 1

E aí precisamos escalonar esse sistema para conseguirmos analisar a existência de soluções, beleza?

Passo 2

Temos:

0 - 1 0 1 1 0 1 β 1 2 1 0 α 2 - 1

Vamos escalonar essa matriz:

0 - 1 0 1 1 0 1 β 1 2 1 0 α 2 - 1 → L 1 ⇔ L 2 1 0 1 β 0 - 1 0 1 1 2 1 0 2 α - 1

1 0 1 β 0 - 1 0 1 1 2 1 0 2 α - 1 → L 3 → L 3 - L 1 1 0 1 β 0 - 1 0 1 0 2 0 - β 2 α - 3

1 0 1 β 0 - 1 0 1 0 2 0 - β 2 α - 3 → L 3 → L 3 + 2 L 2 1 0 1 β 0 - 1 0 1 0 0 0 - β + 2 2 α - 3 + 2 α

Showw, então a matriz do sistema já ta escalonada!!

Passo 3

Então temos essa matriz representando o nosso sistema:

1 0 1 β 0 - 1 0 1 0 0 0 - β + 2 2 α - 3 + 2 α

Para que o sistema seja impossível, o que vai acontecer é que o coeficiente que ta sozinho, o - β + 2 , vai valer 0 . E o que ta do outro lado, o - 3 + 2 α , vai ser diferente de 0 . Então:

- β + 2 = 0

β = 2

E por outro lado:

- 3 + 2 α ≠ 0

2 α ≠ 3

α ≠ 3 2

Então, para que o sistema seja impossível, precisamos que β = 2 e α ≠ 3 2

A alternativa correta é a letra E 😊

Resposta

e) α ≠ 3 2 e β = 2

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