Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

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Enunciado

Considere o sistema de equações lineares

x - 2 y + k z = - 1 2 x - 2 y + 3 + 2 k z = 2 4 x - 10 y + k 2 z = k - 9

Onde k é um número real

c) Determine as soluções do sistema no caso em que k = 1 e as escreva na forma vetorial paramétrica

Passo 1

Vamos lá que esse é o último item dessa questão :P

Antes de tudo, vamos lembrar a matriz aumentada que obtivemos no item a, foi essa aqui:

1 - 2 k 0 1 3 2 0 0 k 2 - 4 k + 3 - 1 2 k - 1

No item b, concluímos que quando k = 1 o sistema possui infinitas soluções, certo?

Agora, por fim, queremos encontrar essas soluções e aí fechou essa questão!!

Quando k = 1 , nossa matriz escalonada aumentada fica assim:

1 - 2 1 0 1 3 2 0 0 1 2 - 4 ∙ 1 + 3 - 1 2 1 - 1

1 - 2 1 0 1 3 2 0 0 0 - 1 2 0

Então vamos lá resolver esse sistema. Lembrando que como ele tem infinitas soluções, ele vai variar de acordo com um parâmetro, que pode ser x , y ou z

Passo 2

Temos

1 - 2 1 0 1 3 2 0 0 0 - 1 2 0

Vamos escrever isso em formato de sistema:

x - 2 y + z = - 1 1 y + 3 2 z = 2

Da segunda equação, temos que

y = 2 - 3 2 z

Vamos substituir isso na primeira equação

Passo 3

Substituindo y = 2 - 3 2 z na equação x - 2 y + z = - 1 , temos

x - 2 ∙ 2 - 3 2 z + z = - 1

x - 4 + 3 z + z = - 1

x + 4 z = 3

Então

x = 3 - 4 z

Passo 4

Portanto, temos que uma solução desse sistema pode ser escrita com x e y variando de acordo com infinitos valores de z :

x = 3 - 4 z

y = 2 - 3 2 z

z = z

Logo, um ponto ( x , y , z ) contido nessa solução pode ser escrito assim:

x , y , z = 3 - 4 z , 2 - 3 2 z ,   z = 3,2 , 0 + - 4 z , - 3 2 z , z

Então, a solução pode ser escrita assim, com a variável livre z :

S :   3,2 , 0 + z ∙ - 4 , - 3 2 , 1

Resposta

S :   3,2 , 0 + z ∙ - 4 , - 3 2 , 1

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