Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

Considere o sistema S representado pela matriz aumentada

onde { u → , v → } ⊂ R n é um conjunto linearmente independente. Assinale a matriz aumentada que representa um sistema equivalente a S.

(a)

(b)

(c)

(d)

Passo 1

Quando temos um sistema linear da forma:

onde u → , v → e w → são vetores das colunas, as nossas soluções são os vetores ( x , y ) do R 2 tais que:

x u → + y v → = w →

Sabendo disso, no caso do sistema dado no enunciado:

Nosso vetor solução vai ser:

x , y = ( 3,4 )

E a questão pede um sistema equivalente, então vamos ter que olhar alternativa por alternativa e ver qual dos sistemas vai ter esse mesmo vetor solução.

Vamos lá!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(a)

Como temos um sistema homogêneo, qualquer vetor ( x , y ) é solução dele, incluindo os vetores ( 0,0 ) e 3,4 .

Mas nesse caso temos infinitas soluções, né?

E no sistema dado no enunciado só tínhamos uma!

Então esse sistema não é equivalente ao outro.

Passo 3

(b)

Vamos ver se o vetor ( 3,4 ) é solução desse sistema:

3 u → + v → + 4 v → = 3 u → + 3 v → + 4 v → = 3 u → + 7 v →

Como o resultado deu exatamente o que está no lado direito, o vetor ( 3,4 ) é solução!

E só vai existir essa combinação dos vetores u → + v → e v → que resulta no vetor do lado direito.

Então o sistema da letra (b) é equivalente ao sistema dado (mesmo conjunto solução).

Vamos fazer a mesma coisa pros sistemas dos itens (c) e (d) e ver que não vamos obter os caras que estão no lado direito deles.

Passo 4

(c)

Vamos ver se o vetor ( 3,4 ) é solução desse sistema:

3 u → + v → + 4 u → - v → = 7 u → - v →

Que é diferente do que está do lado direito da matriz.

Logo, ( 3,4 ) não é solução.

Passo 5

(d)

Vamos ver se o vetor ( 3,4 ) é solução desse sistema:

3 u → + 4 - u → + v → = - u → + 4 v →

Que é diferente do que está do lado direito da matriz.

Logo, ( 3,4 ) não é solução.

Resposta

(b)

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas