Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

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Enunciado

Para que valor(es) de λ o sistema de equações

λ - 3 x + y = 0 x + λ - 3 y = 0

tem soluções não-triviais?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pede pra gente verificar os valores de λ quando o sistema tem soluções não-triviais. Mas quando é que um sistema tem soluções não-triviais?

Bom, existe um teorema que nos diz que um sistema linear e homogêneo com o mesmo número de equações e de incógnitas tem uma solução não trivial se, e só se, o determinante da matriz de coeficientes é zero.

Beleza, então a primeira coisa a fazer é calcular esse determinante. Mas qual é nossa matriz de coeficientes? Vamos extrair ela do sistema:

λ - 3 x + y = 0 x + λ - 3 y = 0

Escrevendo os coeficientes de x e y em forma de matriz, temos:

λ - 3 1 1 λ - 3

Para calcular o determinante dessa matriz basta multiplicar a diagonal principal e subtrair a diagonal secundária. Assim:

λ - 3 1 1 λ - 3 = λ - 3 ∙ λ - 3 - ( 1 ∙ 1 )

Mas não podemos esquecer da condição do sistema ter soluções não-triviais. Então, vamos igualar esse determinante a zero:

λ - 3 ∙ λ - 3 - 1 ∙ 1 = 0

λ 2 - 3 λ - 3 λ + 9 - 1 = 0  

E aí chegamos nessa equação do segundo grau:

λ 2 - 6 λ + 8 = 0

Passo 2

Agora, para descobrir os valores de λ , vamos calcular as raízes dessa equação:

λ 2 - 6 λ + 8 = 0

Usando Bhaskara:

λ = - - 6 ± 6 2 - 4 ∙ 1 ∙ 8 2 ∙ 1

λ = 6 ± 36 - 32 2 = 6 ± 4 2

Então, temos nossa primeira raiz:

λ 1 = 6 + 2 2 = 8 2

λ 1 = 4

E a segunda raiz:

λ 2 = 6 - 2 2 = 4 2

λ 2 = 2

Então, podemos dizer que λ 1 ,   λ 2 = ( 4 ,   2 ) são os valores para os quais o sistema tem soluções não-triviais.

E encerramos o exercício. Até a próxima, galera! 😉

Resposta

λ 1 ,   λ 2 = ( 4 ,   2 )

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