Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

Os vetores u → , v → e w → do R 2 são as colunas da matriz aumentada de um sistema linear:

Considere as seguintes situações distintas:

(a) O sistema (I) tem solução única.

(b) O sistema (I) tem infinitas soluções.

(c) O sistema (II) tem solução única.

(d) O sistema (II) tem infinitas soluções.

Passo 1

Quando temos uma matriz aumentada da forma:

onde u → , v → e w → são vetores das colunas, as nossas soluções são os vetores ( x , y ) do R 2 tais que:

x u → + y v → = w →

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Se olhamos pra situação (I), o sistema dado nunca vai ter solução, pois não existirão valores de x e y satisfazendo

x u → + y v → = w →

Isso ocorre porque u → , v → estão em uma mesma direção, e ao fazer CLs desses dois caras eu só vou obter vetores que também estão naquela direção: nunca vamos conseguir obter o vetor w → mostrado na figura!

Com isso já eliminamos os itens (a) e (b).

Passo 3

Agora vamos ver a situação (II).

Como o vetor w → está na direção do vetor u → , ele é um múltiplo escalar desse vetor.

Se pensarmos no sistema linear dado e na nossa relação que desenvolvemos no Passo 1:

x u → + y v → = w →

Vamos ter que x é um escalar específico e y vale 0.

Assim, vai existir um só vetor solução ( x , y ) , e o sistema tem solução única.

Essa resposta está no item (c).

Resposta

(c) O sistema (II) tem solução única.

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