Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

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Enunciado

Encontre condições que a constante b deve satisfazer para que o sistema seja consistente.

(a) 6 x 1 - 4 x 2 = b 1 3 x 1 - 2 x 2 = b 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

Nós precisamos encontrar condições que satisfaçam o sistema, usando a constante b , para que esse sistema seja consistente. Mas o que é um sistema consistente?

Em geral, dizemos que um sistema linear é consistente se possuir pelo menos uma solução, e inconsistente se não tiver solução.

E aí, nós temos um teorema que nos diz que “se A for uma matriz n × n , então A x = b é consistente com cada matriz b de tamanho n × 1 ”. Então o que nós vamos fazer é encontrar essa matriz b .

Vamos lá!

Passo 2

Olhando para o nosso sistema,

6 x 1 - 4 x 2 = b 1 3 x 1 - 2 x 2 = b 2

Vamos escrever sua matriz aumentada:

6 - 4 b 1 3 - 2 b 2

E vamos reduzi-la a forma escalonada para encontrar os valores de b .

Vamos começar multiplicando a primeira linha por 1 / 6 :

6 - 4 b 1 3 - 2 b 2 → L 1 → 1 6 L 1 1 - 2 3 b 1 6 3 - 2 b 2

Agora vamos multiplicar a primeira linha por - 3 e somar com a segunda:

1 - 2 3 b 1 6 3 - 2 b 2 → L 2 → L 2 - 3 L 1 1 - 2 3 b 1 6 0 0 b 2 - b 1 2

Agora já dá pra gente tirar algumas respostas da matriz.

Passo 3

Pegando os coeficientes da segunda linha, nós temos:

0 x 1 + 0 x 2 = b 2 - b 1 2

Logo,

b 2 - b 1 2 = 0

E, isolando b 2 ,

b 2 = b 1 2

Então,

b 1 = 2 b 2

Para expressar essa condição de uma outra maneira, A x = b é consistente se, e só se, b é uma matriz da forma:

b = 2 b 2 b 2

E encerramos o exercício. Até a próxima, galera! 😉

Resposta

b = 2 b 2 b 2

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