Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

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Enunciado

Sejam a e b ∈ R e considere o sistema linear:

x 1 + x 2 = 2

a x 1 + x 2 + x 3 = b

x 1 + a 2 x 2 = 2

Nas incógnitas reais x 1 , x 2 e x 3 . Temos que esse sistema possui uma única solução se, e somente se:

  1. b = 2 a
  2. a = 1
  3. a ≠ 1   e   a ≠ - 1
  4. a = 0
  5. a = - 1

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquilebas? Espero que sim! Bora lá, Responder Aí essa questão.

Para essa questão, precisamos somente achar a solução do sistema:

{ x 1 + x 2 = 2   a x 1 + x 2 + x 3 = b   x 1 + a 2 x 2 = 2  

e qual condição elae nos dá para sua existência.que essa solução seja única.

Sendo assim, cola junto e garanta seu ponto nessa prova.

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Como fazemos para resolver esse sistema linear e calcular as soluções x 1 e x 2 ?

Uma ideia legal é manipularmos as equações do sistema tentando isolar uma das variáveis.

Assim, brincando com as linhas 1 e 3, vemos:

{ x 1 + x 2 = 2   x 1 + a 2 x 2 = 2  

Como ambas são iguais a 2 , chegamos em:

x 1 + a 2 x 2 = x 1 + x 2

→ x 2 a 2 - 1 = 0

Assim, vemos que x 2 vale:

x 2 = 0 a 2 - 1

Passo 3

Assim, vemos que a solução:Beleza, calculamos x 2 , mas qual a condição para que ela seja única?

Bom, sabemos que:

x 2 = 0 a 2 - 1

Para ela ser única, o denominador precisa ser diferente de zero, se não teríamos infinitas soluções, pois 0 / 0 é indeterminado. Daí:

a 2 - 1 ≠ 0

⇒ a 2 ≠ 1

∴ a ≠ ± 1

Assim, o sistema tTem solução única se, e somente se, a ≠ ± 1 .

Logo a reposta é a letra C

Resposta

Letra c

Exercícios de Livros Relacionados

Se duas regiões poliedrais convexas são definidas por dois conjuntos de desigualdades lineares, a interseção destas regiões é definida por qual conjunto de desigualdades?
Quais são os vértices da região poliedral convexa em R 2 , definida por x ≥ 0 2 x + 3 y ≤ 2 3 x + 2 y ≤ 2 x + y ≤ 1 Desenha esta região.
Desenhe a região em R 2 , definida pelas desigualdades 2 x + y + 9 ≥ 0 - x + 3 y + 6 ≥ 0 x + 2 y - 3 ≤ 0
Resolva o sistema de equações, escrevendo as matrizes ampliadas, associadas aos novos sistemas. 2 x - y + 3 z = 11 4 x - 3 y + 2 z = 0 x + y + z = 6 3 x + y + z = 4