Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

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Enunciado

Encontre condições que a constante b deve satisfazer para que o sistema seja consistente.

(c) x 1 - 2 x 2 - x 3 = b 1 - 4 x 1 + 5 x 2 + 2 x 3 = b 2 - 4 x 1 + 7 x 2 + 4 x 3 = b 3

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

Nós precisamos encontrar condições que satisfaçam o sistema, usando a constante b , para que esse sistema seja consistente. Mas o que é um sistema consistente?

Em geral, dizemos que um sistema linear é consistente se possuir pelo menos uma solução, e inconsistente se não tiver solução.

E aí, nós temos um teorema que nos diz que “se A for uma matriz n × n , então A x = b é consistente com cada matriz b de tamanho n × 1 ”. Então o que nós vamos fazer é encontrar essa matriz b .

Vamos lá!

Passo 2

Olhando para o nosso sistema,

x 1 - 2 x 2 - x 3 = b 1 - 4 x 1 + 5 x 2 + 2 x 3 = b 2 - 4 x 1 + 7 x 2 + 4 x 3 = b 3

Vamos escrever sua matriz aumentada:

1 - 2 - 1 b 1 - 4 5 2 b 2 - 4 7 4 b 3

E vamos reduzi-la a forma escalonada para encontrar os valores de b .

Vamos começar multiplicando a primeira linha por 4 e somando à segunda e à terceira linha:

1 - 2 - 1 b 1 - 4 5 2 b 2 - 4 7 4 b 3 L 2 → L 2 + 4 L 1 L 3 → L 3 + 4 L 1 1 - 2 - 1 b 1 0 - 3 - 2 b 2 + 4 b 1 0 - 1 0 b 3 + 4 b 1

Agora vamos multiplicar a segunda linha por - 1 / 3 :

1 - 2 - 1 b 1 0 - 3 - 2 b 2 + 4 b 1 0 - 1 0 b 3 + 4 b 1 → L 2 → - 1 3 L 2 1 - 2 - 1 b 1 0 1 2 3 - b 2 - 4 b 1 3 0 - 1 0 b 3 + 4 b 1

Em seguida, vamos somar a segunda e terceira linha:

1 - 2 - 1 b 1 0 1 2 3 - b 2 - 4 b 1 3 0 - 1 0 b 3 + 4 b 1 → L 3 → L 3 + L 2 1 - 2 - 1 b 1 0 1 2 3 - b 2 - 4 b 1 3 0 0 2 3 b 3 + 4 b 1 + - b 2 - 4 b 1 3

Por fim, vamos multiplicar a última linha por 3 2 :

1 - 2 - 1 b 1 0 1 2 3 - b 2 - 4 b 1 3 0 0 2 3 b 3 + 4 b 1 + - b 2 - 4 b 1 3 → L 3 → 3 2 L 3 1 - 2 - 1 b 1 0 1 2 3 - b 2 - 4 b 1 3 0 0 1 4 b 1 - b 2 2 + 3 b 3 2

Agora já dá pra gente tirar algumas respostas da matriz.

Passo 3

Nesse caso, como não tivemos nenhuma linha inteira igual a zero, não há restrições sobre b 1 , b 2 e b 3 . Desse modo o sistema tem solução única:

x 3 = 4 b 1 - b 2 2 + 3 b 3 2

x 2 + 2 3 x 3 = - b 2 - 4 b 1 3

x 1 - 2 x 2 - x 3 = b 1

Substituindo uma equação na outra, nós encontramos:

x 1 = 13 b 1 - b 2 2

x 2 = 4 b 1 - 3 b 3 2

x 3 = 4 b 1 - b 2 2 + 3 b 3 2

Mas isso é a título de curiosidade, porque o que importa mesmo é perceber que como não há restrições sobre b 1 , b 2 e b 3 , o sistema tem solução única com quaisquer valores de b e sempre será consistente.

E encerramos o exercício. Até a próxima, galera! 😉

Resposta

O   s i s t e m a   s e m p r e   s e r á   c o n s i s t e n t e

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