Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

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Enunciado

Seja m ∈ R e considere o sistema linear homogêneo

x + y + z = 0 x - y + 2 z = 0 3 x + y + 4 z = 0 2 x + m y + z = 0

Nas incógnitas reais x , y e z . Temos que esse sistema possui apenas a solução trivial se, e somente se

a) m ≠ 3

b) m ≠ 5

c) m ≠ 2

d) m ≠ 1

e) m ≠ 4

Passo 1

Oiii galera, beleza?

Nesse exercício, queremos discutir quando um sistema possui solução única, baseado no valor de um escalar m

x + y + z = 0 x - y + 2 z = 0 3 x + y + 4 z = 0 2 x + m y + z = 0

Para isso, vamos escrever esse sistema na forma matricial e escalonar, verificando para quais valores de m o sistema é possível determinado

Então vamos?

Passo 2

Temos esse sistema:

x + y + z = 0 x - y + 2 z = 0 3 x + y + 4 z = 0 2 x + m y + z = 0

Escrevendo na forma matricial:

1 1 1 1 - 1 2 3 1 4 2 m 1 0 0 0 0

Vamos escalonar essa matriz:

1 1 1 1 - 1 2 3 1 4 2 m 1 0 0 0 0 → L 2 → L 2 - L 1 L 3 → L 3 - 3 L 1 L 4 → L 4 - 2 L 1 1 1 1 0 - 2 1 0 - 2 1 0 m - 2 - 1 0 0 0 0

Como as linhas 2 e 3 estão iguais, elas são linearmente dependentes. Podemos lidar apenas com uma delas

1 1 1 0 - 2 1 0 m - 2 - 1 0 0 0 → L 3 → L 3 + L 2 . m - 2 2 1 1 1 0 - 2 1 0 0 m - 4 2 0 0 0

O sistema vai ser possível determinado apenas se o coeficiente que está sozinho na terceira linha for diferente de 0:

m - 4 2 ≠ 0

m - 4 ≠ 0

Então

m ≠ 4

Portanto, a alternativa correta é a letra E, fechou?

Resposta

e) m ≠ 4

Exercícios de Livros Relacionados

Se duas regiões poliedrais convexas são definidas por dois conjuntos de desigualdades lineares, a interseção destas regiões é definida por qual conjunto de desigualdades?
Quais são os vértices da região poliedral convexa em R 2 , definida por x ≥ 0 2 x + 3 y ≤ 2 3 x + 2 y ≤ 2 x + y ≤ 1 Desenha esta região.
Desenhe a região em R 2 , definida pelas desigualdades 2 x + y + 9 ≥ 0 - x + 3 y + 6 ≥ 0 x + 2 y - 3 ≤ 0
Resolva o sistema de equações, escrevendo as matrizes ampliadas, associadas aos novos sistemas. 2 x - y + 3 z = 11 4 x - 3 y + 2 z = 0 x + y + z = 6 3 x + y + z = 4