Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

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Enunciado

Use a parte (a) para mostrar que o sistema

a x + b y = 0 c x + d y = l

tem exatamente uma solução quando a d - b c ≠ 0 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

Nós precisamos usar a parte que já demonstramos no item (a), para mostrar que o sistema tem uma solução.

Nosso sistema tem a forma:

a x + b y = 0 c x + d y = l

Escrevendo esse sistema em uma matriz aumentada, nós temos:

a b 0 c d l

Nós vimos no item (a), que dá pra chegar à matriz identidade fazendo algumas operações com esse sistema. Então, temos:

1 0 0 0 1 l

Agora, olha só, se eu voltar para a notação de sistema de equações, eu vou ter:

a = 0

d = l

Só peguei os coeficientes ali ( a , d ) e igualei com o resultado.

Bom, então nós temos um fator nulo a = 0 , e a condição a d - b c ≠ 0 . Como a é igual a 0 , e a equação precisa ser diferente de zero, isso significa que nem b nem c podem ser nulos. Porque,

  a d - b c ≠ 0

a d ≠ b c

Para a = 0 ,

b c ≠ 0

Passo 2

Só para ficar mais claro, se operarmos o sistema:

0 b c d

Vamos dividir a linha 1 por b :

0 b c d ⟶ L 1 → 1 b L 1 0 1 c d

Multiplicando a linha 1 por d e subtraindo da linha 2:

0 1 c d ⟶ L 2 → L 2 - d L 1 0 1 c 0

Dividindo a linha 2 por c :

0 1 c 0 ⟶ L 2 → 1 c L 2 0 1 1 0

E, por fim, trocando a linha 1 com a linha 2:

0 1 1 0 ⟶ L 1 ↔ L 2 1 0 0 1

Temos novamente a matriz identidade. Portanto, a condição a d - b c ≠ 0 garante que o sistema tenha apenas uma solução dessa forma.

Encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

O   s i s t e m a   t e m   u m a   s o l u ç ã o

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