Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

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Enunciado

Encontre condições que a constante b deve satisfazer para que o sistema seja consistente.

(d) x 1 - x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = b 1 - 2 x 1 + x 2 + 5 x 3 + x 4 = b 2 - 3 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 - x 4 = b 3 4 x 1 - 3 x 2 + x 3 + 3 x 4 = b 4

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

Nós precisamos encontrar condições que satisfaçam o sistema, usando a constante b , para que esse sistema seja consistente. Mas o que é um sistema consistente?

Em geral, dizemos que um sistema linear é consistente se possuir pelo menos uma solução, e inconsistente se não tiver solução.

E aí, nós temos um teorema que nos diz que “se A for uma matriz n × n , então A x = b é consistente com cada matriz b de tamanho n × 1 ”. Então o que nós vamos fazer é encontrar essa matriz b .

Vamos lá!

Passo 2

Olhando para o nosso sistema,

x 1 - x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = b 1 - 2 x 1 + x 2 + 5 x 3 + x 4 = b 2 - 3 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 - x 4 = b 3 4 x 1 - 3 x 2 + x 3 + 3 x 4 = b 4

Vamos escrever sua matriz aumentada:

1 - 1 3 2 b 1 - 2 1 5 1 b 2 - 3 2 2 - 1 b 3 4 - 3 1 3 b 4

E vamos reduzi-la a forma escalonada para encontrar os valores de b .

Vamos começar multiplicando a primeira linha por 2 e somando à segunda linha:

1 - 1 3 2 b 1 - 2 1 5 1 b 2 - 3 2 2 - 1 b 3 4 - 3 1 3 b 4 → L 2 → L 2 + 2 L 1 1 - 1 3 2 b 1 0 - 1 11 5 b 2 + 2 b 1 - 3 2 2 - 1 b 3 4 - 3 1 3 b 4

Agora vamos multiplicar a primeira linha por 3 e somar com a terceira:

1 - 1 3 2 b 1 0 - 1 11 5 b 2 + 2 b 1 - 3 2 2 - 1 b 3 4 - 3 1 3 b 4 → L 3 → L 3 + 3 L 1 1 - 1 3 2 b 1 0 - 1 11 5 b 2 + 2 b 1 0 - 1 11 5 b 3 + 3 b 1 4 - 3 1 3 b 4

Em seguida, vamos multiplicar a primeira linha por - 4 e somar com a quarta linha:

1 - 1 3 2 b 1 0 - 1 11 5 b 2 + 2 b 1 0 - 1 11 5 b 3 + 3 b 1 4 - 3 1 3 b 4 → L 4 → L 4 - 4 L 1 1 - 1 3 2 b 1 0 - 1 11 5 b 2 + 2 b 1 0 - 1 11 5 b 3 + 3 b 1 0 1 - 11 - 5 b 4 - 4 b 1

Agora vamos multiplicar a segunda linha por - 1 e somar com a terceira:

1 - 1 3 2 b 1 0 - 1 11 5 b 2 + 2 b 1 0 - 1 11 5 b 3 + 3 b 1 0 1 - 11 - 5 b 4 - 4 b 1 → L 3 → L 3 - L 2 1 - 1 3 2 b 1 0 - 1 11 5 b 2 + 2 b 1 0 0 0 0 b 3 + b 1 - b 2 0 1 - 11 - 5 b 4 - 4 b 1

E podemos também somar a quarta com a segunda linha:

1 - 1 3 2 b 1 0 - 1 11 5 b 2 + 2 b 1 0 0 0 0 b 3 + b 1 - b 2 0 1 - 11 - 5 b 4 - 4 b 1 → L 4 → L 4 + L 2 1 - 1 3 2 b 1 0 - 1 11 5 b 2 + 2 b 1 0 0 0 0 b 3 + b 1 - b 2 0 0 0 0 b 4 - 2 b 1 + b 2

Agora já dá pra gente tirar algumas respostas da matriz.

Passo 3

Podemos pegar a terceira linha e escrever seus coeficientes:

0 x 1 + 0 x 2 + 0 x 3 + 0 x 4 = b 4 - 2 b 1 + b 2

Então,

b 4 - 2 b 1 + b 2 = 0

Isolando b 2 :

b 2 = 2 b 1 - b 4

E da quarta linha, temos de maneira análoga:

b 3 + b 1 - b 2 = 0

Isolando b 1 ,

b 1 = b 2 - b 3

Substituindo o b 2 que encontramos da terceira linha, temos:

b 1 = 2 b 1 - b 4 - b 3

b 1 = b 3 + b 4

Agora substituindo b 1 na equação b 2 = 2 b 1 - b 4 , temos:

b 2 = 2 b 3 + b 4 - b 4

b 2 = 2 b 3 + b 4

Para expressar essa condição de uma outra maneira, A x = b é consistente se, e só se, b é uma matriz da forma:

b = b 3 + b 4 2 b 3 + b 4 b 3 b 4

E encerramos o exercício. Até a próxima, galera! 😉

Resposta

b = b 3 + b 4 2 b 3 + b 4 b 3 b 4

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