Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

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Enunciado

Encontre condições que a constante b deve satisfazer para que o sistema seja consistente.

(b) x 1 - 2 x 2 + 5 x 3 = b 1 4 x 1 - 5 x 2 + 8 x 3 = b 2 - 3 x 1 + 3 x 2 - 3 x 3 = b 3

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

Nós precisamos encontrar condições que satisfaçam o sistema, usando a constante b , para que esse sistema seja consistente. Mas o que é um sistema consistente?

Em geral, dizemos que um sistema linear é consistente se possuir pelo menos uma solução, e inconsistente se não tiver solução.

E aí, nós temos um teorema que nos diz que “se A for uma matriz n × n , então A x = b é consistente com cada matriz b de tamanho n × 1 ”. Então o que nós vamos fazer é encontrar essa matriz b .

Vamos lá!

Passo 2

Olhando para o nosso sistema,

x 1 - 2 x 2 + 5 x 3 = b 1 4 x 1 - 5 x 2 + 8 x 3 = b 2 - 3 x 1 + 3 x 2 - 3 x 3 = b 3

Vamos escrever sua matriz aumentada:

1 - 2 5 b 1 4 - 5 8 b 2 - 3 3 - 3 b 3

E vamos reduzi-la a forma escalonada para encontrar os valores de b .

Vamos começar multiplicando a primeira linha por - 4 e somando à segunda linha:

1 - 2 5 b 1 4 - 5 8 b 2 - 3 3 - 3 b 3 → L 2 → L 2 - 4 L 1 1 - 2 5 b 1 0 3 - 12 b 2 - 4 b 1 - 3 3 - 3 b 3

Agora vamos multiplicar a primeira linha por 3 e somar com à terceira:

1 - 2 5 b 1 0 3 - 12 b 2 - 4 b 1 - 3 3 - 3 b 3 → L 3 → L 3 + 3 L 1 1 - 2 5 b 1 0 3 - 12 b 2 - 4 b 1 0 - 3 12 b 3 + 3 b 1

Em seguida, vamos somar a segunda e terceira linha:

1 - 2 5 b 1 0 3 - 12 b 2 - 4 b 1 - 3 3 - 3 b 3 → L 3 → L 3 + L 2 1 - 2 5 b 1 0 3 - 12 b 2 - 4 b 1 0 0 0 b 3 - b 1 + b 2

Agora já dá pra gente tirar algumas respostas da matriz.

Passo 3

Pegando os coeficientes da terceira linha, nós temos:

0 x 1 + 0 x 2 + 0 x 3 = b 3 - b 1 + b 2

Logo,

b 3 - b 1 + b 2 = 0

E, isolando b 1 ,

b 1 = b 2 + b 3

Para expressar essa condição de uma outra maneira, A x = b é consistente se, e só se, b é uma matriz da forma:

b = b 1 b 2 b 2 + b 3

E encerramos o exercício. Até a próxima, galera! 😉

Resposta

b = b 1 b 2 b 2 + b 3

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