Exercícios Resolvidos de Análise de Solução de um Sistema Linear

Considere o problema de se encontrar dois números cuja soma seja igual a a, cuja diferença seja igual a b e tais que o triplo do primeiro mais o quíntuplo do segundo seja igual a c.

(a) Quando este problema tem solução, ela é única.

(b) Este problema nunca tem solução.

(c) Este problema sempre tem solução.

(d) Quando este problema tem solução, ela não é única.

Passo 1

Primeiro vamos traduzir o que a questão está nos dizendo!

Queremos encontrar dois números desconhecidos, então vamos chamar o primeiro de x e o segundo de y.

Esses dois números satisfazem as relações ditas no enunciado. Vamos montar a equação pra cada afirmação.

A primeira é que a soma dos números é a, ou seja:

x + y = a

Também foi dito que a diferença entre eles é b:

x - y = b

Por último, o triplo do primeiro (que chamamos de x) mais o quíntuplo do segundo (que é o nosso y) é igual a c:

3 x + 5 y = c

Ou seja, ficamos com um sistema linear!

x + y = a x - y = b 3 x + 5 y = c

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora notem o seguinte: temos duas incógnitas (que são o x e o y), enquanto temos três equações.

Um sistema com mais equações que incógnitas não necessariamente tem solução, certo? Isso porque podemos encontrar um valor para uma das incógnitas em uma das equações, e depois encontrar outro valor diferente para a mesma incógnita através das equações que restaram. Neste caso, uma das equações é inconsistente com as demais.

Porém, se não estivermos em uma situação com inconsistência nas equações, o sistema pode ter solução, sim! Neste caso, podemos afirmar que a solução é única.

Tá, mas como eu faço pra ver se as equações são consistentes ou não??

Passo 3

Uma forma bem rápida de ver isso é montando a matriz dos coeficientes do sistema e escalonando.

1 1   1 - 1 3 5   ~ ⏟ ( i )   1 0 1 - 2 0 2   ~ ⏟ ( i i )   1 0 1 - 2 0 0

Passo ( i ) : L 2 ← L 2 + ( - 1 ) L 1 e L 3 ← L 3 + ( - 3 ) L 1

Passo ( i i ) : L 3 ← L 3 + L 2

Como conseguimos zerar a terceira linha, temos que na verdade ela é uma combinação da primeira com a segunda – isto é, não nos acrescenta nenhuma informação nova, mas também não contradizemos o que já tinha sido feito antes nas duas primeiras linhas.

Portanto, se nos forem dados a, b e c tais que a primeira e a segunda equação possam ser resolvidas, teremos um sistema com duas equações e duas incógnitas, que terá solução.

Mas isso nem sempre vai ser verdade, né? Depende dos valores de a, b e c. Por isso, a resposta é a letra (a): não necessariamente o sistema tem solução, mas quando tem, ela é única.

Resposta

(a) Quando este problema tem solução, ela é única.

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas